Второй замечательный предел: как решать

Применить второй замечательный предел.

Определения

Второй замечательный предел: Предел выражения (1 + 1/n) в степени n при стремлении n к бесконечности. Равен числу e ≈ 2,718.
Число e: Основание натурального логарифма, иррациональное число примерно 2,718. Возникает как предел непрерывного роста.

Объяснение

Второй замечательный предел даёт число e - одну из важнейших постоянных математики. Выражение (1 + 1/n)ⁿ при росте n стремится к 2,718…

Смысл его виден в задаче о сложных процентах. Если вклад под 100 процентов годовых начислять раз в год, сумма удвоится. Если раз в полгода по 50 процентов - вырастет в 2,25 раза. Чем чаще начисление, тем больше итог, но растёт он не безгранично: предел равен e.

Основание стремится к единице, а показатель к бесконечности - это неопределённость вида «единица в степени бесконечность». Подстановка тут не работает: единица в любой степени даёт единицу, но здесь основание лишь стремится к единице, никогда её не достигая.

Общий вид предела: если выражение имеет форму (1 + a/n) в степени n, предел равен e в степени a. Это прямое следствие основного предела и позволяет решать большинство задач без длинных выкладок.

Для (1 + 2/n)ⁿ получаем e². Для (1 + 1/n) в степени 3n получаем e³, потому что показатель втрое больше.

Приводить выражение к стандартному виду - основная работа. Смотрят, что стоит в скобке рядом с единицей, и добиваются, чтобы показатель был обратной величиной к этой добавке.

Число e служит основанием натурального логарифма и появляется всюду, где есть непрерывный рост: в физике распада, в биологии размножения, в финансах.

Правила и формулы

Второй замечательный пределlim (1 + 1/n)ⁿ = e при n → ∞
Общий видlim (1 + a/n)ⁿ = eᵃ
Число ee ≈ 2,718
Неопределённость вида «единица в степени бесконечность»
e - основание натурального логарифма

Порядок действий

Проверьте, что основание стремится к единице, а показатель к бесконечности.
Приведите скобку к виду единица плюс дробь.
Определите, что стоит в числителе этой дроби.
Сравните показатель степени со знаменателем дроби.
Запишите ответ как e в соответствующей степени.

Разбор примеров

Предел (1 + 1/n)ⁿ при n → ∞

Основание стремится к единице, показатель к бесконечности.
Это в точности второй замечательный предел.

Ответ: e

Предел (1 + 2/n)ⁿ при n → ∞

В числителе дроби стоит 2.
По общему виду предел равен e².

Ответ: e²

Предел (1 + 1/n)^(3n) при n → ∞

Показатель втрое больше стандартного.
Значит результат в третьей степени.

Ответ: e³

Где обычно ошибаются

Считают предел равным единице, потому что основание стремится к единице.
Путают показатель степени со знаменателем дроби в скобке.
Применяют формулу, когда основание не стремится к единице.

Примеры с решением

1. Предел выражения (1 + 5/x) в степени x при x, стремящемся к бесконечности, равен e в некоторой степени. Чему равен показатель этой степени?

(1 + 1/t)^t → e при t → ∞
(1 + 5/x)^x = ((1 + 5/x)^(x/5))^5
Предел = e^5, показатель равен 5

Ответ: 5

2. Предел выражения (1 + (−12)/x) в степени 2x при x, стремящемся к бесконечности, равен e в некоторой степени. Чему равен показатель этой степени?

(1 + 1/t)^t → e при t → ∞
(1 + (−12)/x)^2x = ((1 + (−12)/x)^(x/(−12)))^(−24)
Предел = e^(−24), показатель равен −24

Ответ: -24

3. Предел выражения (1 + 3/x) в степени x при x, стремящемся к бесконечности, равен e в некоторой степени. Чему равен показатель этой степени?

(1 + 1/t)^t → e при t → ∞
(1 + 3/x)^x = ((1 + 3/x)^(x/3))^3
Предел = e^3, показатель равен 3

Ответ: 3

4. Предел выражения (1 + (−3)/x) в степени 3x при x, стремящемся к бесконечности, равен e в некоторой степени. Чему равен показатель этой степени?

(1 + 1/t)^t → e при t → ∞
(1 + (−3)/x)^3x = ((1 + (−3)/x)^(x/(−3)))^(−9)
Предел = e^(−9), показатель равен −9

Ответ: -9

5. Предел выражения (1 + (−6)/x) в степени 3x при x, стремящемся к бесконечности, равен e в некоторой степени. Чему равен показатель этой степени?

(1 + 1/t)^t → e при t → ∞
(1 + (−6)/x)^3x = ((1 + (−6)/x)^(x/(−6)))^(−18)
Предел = e^(−18), показатель равен −18

Ответ: -18

Подсказки, если не получается

Это второй замечательный предел.
(1 + 1/t) в степени t стремится к e.
Приведите показатель к нужному виду — множитель и станет показателем у e.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Пределы»

Полная справка по разделу — на странице Пределы.