Предел по непрерывности: как решать

Вычислить предел подстановкой.

Определения

Предел функции в точке: Число, к которому приближаются значения функции, когда аргумент приближается к данной точке.
Непрерывная функция: Функция, значение которой в точке совпадает с пределом в этой точке. Для неё предел вычисляется прямой подстановкой.

Объяснение

Предел описывает поведение функции вблизи точки, а не в самой точке. Вопрос звучит так: к какому числу стремятся значения функции, когда аргумент подходит всё ближе к заданному.

Для большинства функций, встречающихся в задачах, - многочленов, дробей с ненулевым знаменателем, корней, синусов и косинусов - предел вычисляется простой подстановкой. Эти функции непрерывны, и значение совпадает с пределом.

Поэтому первое действие при вычислении любого предела - попробовать подставить. Если получилось конкретное число, задача решена. Городить преобразования, не проверив подстановку, - лишняя работа.

Разберём: предел выражения x² + 3x при x, стремящемся к двум. Подставляем: 4 + 6 = 10. Ответ 10, и никаких дополнительных приёмов не требуется.

Подстановка не работает, когда получается неопределённость: 0/0, бесконечность на бесконечность и подобные. Это сигнал, что функция в точке не определена, и предел надо искать иначе - раскрытием неопределённости.

Важно различать: если знаменатель обратился в ноль, а числитель нет, предел бесконечен, и это не неопределённость, а вполне определённый ответ. Неопределённость возникает только когда ноль делится на ноль.

Проверять результат полезно подстановкой близких значений: возьмите x чуть меньше и чуть больше точки и посмотрите, действительно ли значения подходят к найденному числу.

Правила и формулы

Для непрерывных функций предел равен значениюlim f(x) = f(a)
Сначала всегда пробуют подстановку
Многочлены непрерывны всюду
Ноль в знаменателе при ненулевом числителе даёт бесконечность
Неопределённость 0/0 требует преобразований

Порядок действий

Подставьте предельное значение аргумента в функцию.
Если получилось число, это и есть ответ.
Если получился ноль в знаменателе при ненулевом числителе - предел бесконечен.
Если получилась неопределённость, переходите к её раскрытию.
Проверьте, подставив близкие значения.

Разбор примеров

Предел x² + 3x при x → 2

Функция непрерывна - подставляем.
2² + 3 · 2 = 4 + 6.
Получается 10.

Ответ: 10

Предел (x + 1)/(x − 3) при x → 5

Знаменатель не обращается в ноль.
(5 + 1)/(5 − 3) = 6/2.
Получается 3.

Ответ: 3

Предел √(x + 5) при x → 4

Подкоренное выражение положительно.
√(4 + 5) = √9.
Получается 3.

Ответ: 3

Где обычно ошибаются

Начинают с преобразований, не попробовав подстановку.
Считают неопределённостью случай, когда только знаменатель обращается в ноль.
Подставляют значение в точку разрыва и получают бессмыслицу.

Примеры с решением

1. Вычислите предел функции 3x² + 9x − 7 при x, стремящемся к 1.

Функция непрерывна, значит предел = значению в точке
3 · 1² + 9 · 1 − 7
= 3 + 9 − 7 = 5

Ответ: 5

2. Вычислите предел функции x² + x − 7 при x, стремящемся к 1.

Функция непрерывна, значит предел = значению в точке
1 · 1² + 1 · 1 − 7
= 1 + 1 − 7 = −5

Ответ: -5

3. Вычислите предел функции 4x² + 8x − 5 при x, стремящемся к 1.

Функция непрерывна, значит предел = значению в точке
4 · 1² + 8 · 1 − 5
= 4 + 8 − 5 = 7

Ответ: 7

4. Вычислите предел функции 2x² + 3x − 3 при x, стремящемся к 2.

Функция непрерывна, значит предел = значению в точке
2 · 2² + 3 · 2 − 3
= 8 + 6 − 3 = 11

Ответ: 11

5. Вычислите предел функции x² + x − 1 при x, стремящемся к 5.

Функция непрерывна, значит предел = значению в точке
1 · 5² + 1 · 5 − 1
= 25 + 5 − 1 = 29

Ответ: 29

Подсказки, если не получается

Проверьте, нет ли неопределённости: подставьте число в функцию.
Многочлен непрерывен, поэтому подстановка законна.
Посчитайте значение при x = 1.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Пределы»

Полная справка по разделу — на странице Пределы.