Предел на бесконечности: как решать

Найти предел на бесконечности.

Определения

Предел на бесконечности: Число, к которому стремится функция, когда аргумент неограниченно растёт.
Старшая степень: Наибольший показатель степени переменной в многочлене. Именно она определяет поведение на бесконечности.

Объяснение

При стремлении аргумента к бесконечности поведение дроби с многочленами определяется только старшими степенями. Слагаемые меньших степеней растут медленнее и на больших значениях становятся несущественными.

Отсюда простое правило для отношения многочленов. Если степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению старших коэффициентов. Если степень числителя меньше, предел равен нулю. Если больше - предел бесконечен.

Для предела (3x² + 5x)/(x² − 1) при x к бесконечности степени равны двум, старшие коэффициенты 3 и 1, значит предел равен 3.

Формально это обосновывают делением числителя и знаменателя на старшую степень. Разделив на x², получаем (3 + 5/x)/(1 − 1/x²). При росте x дроби 5/x и 1/x² стремятся к нулю, остаётся 3/1 = 3.

Такое деление - универсальный приём, и им стоит пользоваться, пока правило не стало очевидным. Оно же работает в случаях, где правило неприменимо напрямую, - например, когда в выражении есть корни.

Ключевой факт, на котором всё держится: единица, делённая на бесконечно растущую величину, стремится к нулю. Из него получаются все остальные выводы темы.

Проверять полезно подстановкой большого числа: возьмите x = 1000 и посмотрите, близок ли результат к ответу.

Правила и формулы

Степени равны - предел равен отношению старших коэффициентов
Степень числителя меньше - предел равен нулю
Степень числителя больше - предел бесконечен
Универсальный приём - деление на старшую степень
Основной факт1/x → 0 при x → ∞

Порядок действий

Определите старшие степени числителя и знаменателя.
Сравните их.
При равных степенях возьмите отношение старших коэффициентов.
При меньшей степени числителя ответ ноль, при большей - бесконечность.
Для проверки разделите числитель и знаменатель на старшую степень.

Разбор примеров

Предел (3x² + 5x)/(x² − 1) при x → ∞

Степени равны: обе вторые.
Старшие коэффициенты 3 и 1.
Предел равен 3.

Ответ: 3

Предел (2x + 1)/(x² + 3) при x → ∞

Степень числителя 1, знаменателя 2.
Числитель растёт медленнее.

Ответ: 0

Предел (x³ + 1)/(x + 5) при x → ∞

Степень числителя больше.
Дробь растёт неограниченно.

Ответ: ∞

Где обычно ошибаются

Сравнивают свободные члены вместо старших степеней.
Считают, что предел всегда равен отношению коэффициентов, не сравнив степени.
Подставляют бесконечность как число и получают бессмыслицу.

Примеры с решением

1. Вычислите предел дроби (27x² + 3x) / (3x² − 6) при x, стремящемся к бесконечности.

Разделим числитель и знаменатель на x²
(27 + 3/x) / (3 − 6/x²)
Слагаемые с x в знаменателе стремятся к нулю: 27 : 3 = 9

Ответ: 9

2. Вычислите предел дроби (x² + 6x) / (x² − 9) при x, стремящемся к бесконечности.

Разделим числитель и знаменатель на x²
(1 + 6/x) / (1 − 9/x²)
Слагаемые с x в знаменателе стремятся к нулю: 1 : 1 = 1

Ответ: 1

3. Вычислите предел дроби (21x² + x) / (3x² − 5) при x, стремящемся к бесконечности.

Разделим числитель и знаменатель на x²
(21 + 1/x) / (3 − 5/x²)
Слагаемые с x в знаменателе стремятся к нулю: 21 : 3 = 7

Ответ: 7

4. Вычислите предел дроби (18x² + 5x) / (6x² − 6) при x, стремящемся к бесконечности.

Разделим числитель и знаменатель на x²
(18 + 5/x) / (6 − 6/x²)
Слагаемые с x в знаменателе стремятся к нулю: 18 : 6 = 3

Ответ: 3

5. Вычислите предел дроби (48x² + 4x) / (6x² − 4) при x, стремящемся к бесконечности.

Разделим числитель и знаменатель на x²
(48 + 4/x) / (6 − 4/x²)
Слагаемые с x в знаменателе стремятся к нулю: 48 : 6 = 8

Ответ: 8

Подсказки, если не получается

Степени числителя и знаменателя одинаковые.
Разделите обе части на старшую степень x.
Останется отношение старших коэффициентов 27 : 3.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Пределы»

Полная справка по разделу — на странице Пределы.