Пределы
Если функция непрерывна в точке, предел равен значению функции: достаточно подставить.
Содержание
- Предел по непрерывностиВычислить предел подстановкой.
- Неопределённость 0/0Раскрыть неопределённость 0/0.
- Предел на бесконечностиНайти предел на бесконечности.
- Первый замечательный пределПрименить первый замечательный предел.
- Второй замечательный пределПрименить второй замечательный предел.
Предел по непрерывности
Определения
- Предел функции в точке
- Число, к которому приближаются значения функции, когда аргумент приближается к данной точке.
- Непрерывная функция
- Функция, значение которой в точке совпадает с пределом в этой точке. Для неё предел вычисляется прямой подстановкой.
Объяснение
Предел описывает поведение функции вблизи точки, а не в самой точке. Вопрос звучит так: к какому числу стремятся значения функции, когда аргумент подходит всё ближе к заданному.
Для большинства функций, встречающихся в задачах, - многочленов, дробей с ненулевым знаменателем, корней, синусов и косинусов - предел вычисляется простой подстановкой. Эти функции непрерывны, и значение совпадает с пределом.
Поэтому первое действие при вычислении любого предела - попробовать подставить. Если получилось конкретное число, задача решена. Городить преобразования, не проверив подстановку, - лишняя работа.
Разберём: предел выражения x² + 3x при x, стремящемся к двум. Подставляем: 4 + 6 = 10. Ответ 10, и никаких дополнительных приёмов не требуется.
Подстановка не работает, когда получается неопределённость: 0/0, бесконечность на бесконечность и подобные. Это сигнал, что функция в точке не определена, и предел надо искать иначе - раскрытием неопределённости.
Важно различать: если знаменатель обратился в ноль, а числитель нет, предел бесконечен, и это не неопределённость, а вполне определённый ответ. Неопределённость возникает только когда ноль делится на ноль.
Проверять результат полезно подстановкой близких значений: возьмите x чуть меньше и чуть больше точки и посмотрите, действительно ли значения подходят к найденному числу.
Правила и формулы
- Для непрерывных функций предел равен значению
lim f(x) = f(a) - Сначала всегда пробуют подстановку
- Многочлены непрерывны всюду
- Ноль в знаменателе при ненулевом числителе даёт бесконечность
- Неопределённость 0/0 требует преобразований
Порядок действий
- Подставьте предельное значение аргумента в функцию.
- Если получилось число, это и есть ответ.
- Если получился ноль в знаменателе при ненулевом числителе - предел бесконечен.
- Если получилась неопределённость, переходите к её раскрытию.
- Проверьте, подставив близкие значения.
Разбор примеров
- Функция непрерывна - подставляем.
- 2² + 3 · 2 = 4 + 6.
- Получается 10.
- Знаменатель не обращается в ноль.
- (5 + 1)/(5 − 3) = 6/2.
- Получается 3.
- Подкоренное выражение положительно.
- √(4 + 5) = √9.
- Получается 3.
Где обычно ошибаются
- Начинают с преобразований, не попробовав подстановку.
- Считают неопределённостью случай, когда только знаменатель обращается в ноль.
- Подставляют значение в точку разрыва и получают бессмыслицу.
Неопределённость 0/0
Определения
- Неопределённость 0/0
- Ситуация, когда при подстановке и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Значение предела при этом может быть любым и требует дополнительного исследования.
- Сокращение на общий множитель
- Основной приём раскрытия: числитель и знаменатель раскладывают на множители и сокращают тот, что обращается в ноль.
Объяснение
Неопределённость 0/0 означает, что подстановка ничего не сказала: и числитель, и знаменатель стремятся к нулю, а их отношение может стремиться к чему угодно. Само выражение 0/0 значения не имеет, поэтому и говорят о неопределённости.
Ключевое наблюдение: если и числитель, и знаменатель обращаются в ноль в точке a, то оба делятся на (x − a). Это следует из теоремы о корне многочлена. Значит, общий множитель есть всегда, и его можно сократить.
Основной приём для дробей с многочленами - разложить обе части на множители и сократить на (x − a). После сокращения неопределённость исчезает, и предел берётся подстановкой.
Разберём предел (x² − 9)/(x − 3) при x → 3. Подстановка даёт 0/0. Раскладываем числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Сокращаем на (x − 3), остаётся x + 3. Подставляем: 3 + 3 = 6.
Сокращение законно, потому что предел описывает поведение вблизи точки, а не в самой точке. При x, не равном трём, выражения совпадают, а что происходит ровно в тройке, для предела неважно.
Если в выражении есть корни, применяют домножение на сопряжённое. Дробь с разностью корней домножают сверху и снизу на их сумму - тогда в числителе получается разность квадратов, корни исчезают, и появляется сокращаемый множитель.
Проверять полезно подстановкой близкого значения: возьмите x = 3,01 и посмотрите, близок ли результат к найденному ответу.
Правила и формулы
- Неопределённость 0/0 требует преобразований
- Общий множитель есть всегда
оба многочлена делятся на (x − a) - Разложение и сокращение
(x² − 9)/(x − 3) = x + 3 - Для корней - домножение на сопряжённое
- После сокращения берут предел подстановкой
Порядок действий
- Подставьте значение и убедитесь, что получается 0/0.
- Разложите числитель и знаменатель на множители.
- Найдите общий множитель вида (x − a).
- Сократите на него.
- Подставьте значение в упрощённое выражение.
Разбор примеров
- Подстановка даёт 0/0.
- Раскладываем: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
- Сокращаем на (x − 3): остаётся x + 3.
- Подставляем: 6.
- Неопределённость 0/0.
- x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
- После сокращения: x + 2.
- Подставляем: 4.
- Числитель раскладывается: (x − 2)(x − 3).
- Сокращаем: x − 3.
- Подставляем: 2 − 3 = −1.
Где обычно ошибаются
- Считают, что 0/0 равно нулю или единице.
- Сокращают слагаемые вместо множителей.
- Забывают подставить значение после сокращения и оставляют выражение в ответе.
Предел на бесконечности
Определения
- Предел на бесконечности
- Число, к которому стремится функция, когда аргумент неограниченно растёт.
- Старшая степень
- Наибольший показатель степени переменной в многочлене. Именно она определяет поведение на бесконечности.
Объяснение
При стремлении аргумента к бесконечности поведение дроби с многочленами определяется только старшими степенями. Слагаемые меньших степеней растут медленнее и на больших значениях становятся несущественными.
Отсюда простое правило для отношения многочленов. Если степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению старших коэффициентов. Если степень числителя меньше, предел равен нулю. Если больше - предел бесконечен.
Для предела (3x² + 5x)/(x² − 1) при x к бесконечности степени равны двум, старшие коэффициенты 3 и 1, значит предел равен 3.
Формально это обосновывают делением числителя и знаменателя на старшую степень. Разделив на x², получаем (3 + 5/x)/(1 − 1/x²). При росте x дроби 5/x и 1/x² стремятся к нулю, остаётся 3/1 = 3.
Такое деление - универсальный приём, и им стоит пользоваться, пока правило не стало очевидным. Оно же работает в случаях, где правило неприменимо напрямую, - например, когда в выражении есть корни.
Ключевой факт, на котором всё держится: единица, делённая на бесконечно растущую величину, стремится к нулю. Из него получаются все остальные выводы темы.
Проверять полезно подстановкой большого числа: возьмите x = 1000 и посмотрите, близок ли результат к ответу.
Правила и формулы
- Степени равны - предел равен отношению старших коэффициентов
- Степень числителя меньше - предел равен нулю
- Степень числителя больше - предел бесконечен
- Универсальный приём - деление на старшую степень
- Основной факт
1/x → 0 при x → ∞
Порядок действий
- Определите старшие степени числителя и знаменателя.
- Сравните их.
- При равных степенях возьмите отношение старших коэффициентов.
- При меньшей степени числителя ответ ноль, при большей - бесконечность.
- Для проверки разделите числитель и знаменатель на старшую степень.
Разбор примеров
- Степени равны: обе вторые.
- Старшие коэффициенты 3 и 1.
- Предел равен 3.
- Степень числителя 1, знаменателя 2.
- Числитель растёт медленнее.
- Степень числителя больше.
- Дробь растёт неограниченно.
Где обычно ошибаются
- Сравнивают свободные члены вместо старших степеней.
- Считают, что предел всегда равен отношению коэффициентов, не сравнив степени.
- Подставляют бесконечность как число и получают бессмыслицу.
Первый замечательный предел
Определения
- Первый замечательный предел
- Тождество: предел отношения синуса аргумента к самому аргументу при стремлении аргумента к нулю равен единице.
Объяснение
Первый замечательный предел утверждает: отношение sin x к x стремится к единице, когда x стремится к нулю. Это не следует из подстановки - там неопределённость 0/0 - и доказывается отдельно.
Смысл его геометрический: при малых углах длина дуги и длина стягивающей её хорды почти совпадают. Поэтому синус малого угла практически равен самому углу, если угол измерен в радианах.
Радианная мера здесь принципиальна. В градусах предел равнялся бы не единице, а другому числу, потому что связь между дугой и углом была бы иной. Все формулы анализа опираются на радианы именно поэтому.
Применяют предел так: добиваются, чтобы под синусом и в знаменателе стояло одно и то же выражение. Если аргументы разные, домножают и делят на нужный множитель.
Разберём предел sin(3x)/x при x → 0. Под синусом 3x, а в знаменателе x. Домножим и разделим на 3: получим 3 · sin(3x)/(3x). Отношение стремится к единице, остаётся множитель 3.
Из первого замечательного предела выводятся и другие полезные соотношения: отношение тангенса к аргументу тоже стремится к единице, потому что тангенс равен синусу, делённому на косинус, а косинус нуля равен единице.
Проверять полезно численно: возьмите x = 0,01 и посчитайте отношение - оно будет очень близко к единице.
Правила и формулы
- Первый замечательный предел
lim (sin x)/x = 1 при x → 0 - Работает только в радианах
- Аргументы под синусом и в знаменателе обязаны совпадать
- Приём: домножить и разделить на нужный множитель
sin(3x)/x = 3 · sin(3x)/(3x) - Следствие
lim (tg x)/x = 1
Порядок действий
- Убедитесь, что аргумент стремится к нулю.
- Сравните выражение под синусом и в знаменателе.
- Если они разные, домножьте и разделите на нужный множитель.
- Выделите отношение вида sin(t)/t и замените его единицей.
- Вычислите оставшиеся множители.
Разбор примеров
- Под синусом 3x, в знаменателе x.
- Домножаем и делим на 3: 3 · sin(3x)/(3x).
- Отношение стремится к единице.
- Остаётся 3.
- Приводим к виду sin(5x)/(5x).
- Множитель: 5/2.
- Предел равен 5/2.
- Выносим 1/3.
- Остаётся (1/3) · sin x/x.
- Предел равен 1/3.
Где обычно ошибаются
- Применяют предел, когда аргументы под синусом и в знаменателе разные.
- Работают в градусах вместо радианов.
- Сокращают синус с аргументом как множитель - это разные вещи.
Второй замечательный предел
Определения
- Второй замечательный предел
- Предел выражения (1 + 1/n) в степени n при стремлении n к бесконечности. Равен числу e ≈ 2,718.
- Число e
- Основание натурального логарифма, иррациональное число примерно 2,718. Возникает как предел непрерывного роста.
Объяснение
Второй замечательный предел даёт число e - одну из важнейших постоянных математики. Выражение (1 + 1/n)ⁿ при росте n стремится к 2,718…
Смысл его виден в задаче о сложных процентах. Если вклад под 100 процентов годовых начислять раз в год, сумма удвоится. Если раз в полгода по 50 процентов - вырастет в 2,25 раза. Чем чаще начисление, тем больше итог, но растёт он не безгранично: предел равен e.
Основание стремится к единице, а показатель к бесконечности - это неопределённость вида «единица в степени бесконечность». Подстановка тут не работает: единица в любой степени даёт единицу, но здесь основание лишь стремится к единице, никогда её не достигая.
Общий вид предела: если выражение имеет форму (1 + a/n) в степени n, предел равен e в степени a. Это прямое следствие основного предела и позволяет решать большинство задач без длинных выкладок.
Для (1 + 2/n)ⁿ получаем e². Для (1 + 1/n) в степени 3n получаем e³, потому что показатель втрое больше.
Приводить выражение к стандартному виду - основная работа. Смотрят, что стоит в скобке рядом с единицей, и добиваются, чтобы показатель был обратной величиной к этой добавке.
Число e служит основанием натурального логарифма и появляется всюду, где есть непрерывный рост: в физике распада, в биологии размножения, в финансах.
Правила и формулы
- Второй замечательный предел
lim (1 + 1/n)ⁿ = e при n → ∞ - Общий вид
lim (1 + a/n)ⁿ = eᵃ - Число e
e ≈ 2,718 - Неопределённость вида «единица в степени бесконечность»
- e - основание натурального логарифма
Порядок действий
- Проверьте, что основание стремится к единице, а показатель к бесконечности.
- Приведите скобку к виду единица плюс дробь.
- Определите, что стоит в числителе этой дроби.
- Сравните показатель степени со знаменателем дроби.
- Запишите ответ как e в соответствующей степени.
Разбор примеров
- Основание стремится к единице, показатель к бесконечности.
- Это в точности второй замечательный предел.
- В числителе дроби стоит 2.
- По общему виду предел равен e².
- Показатель втрое больше стандартного.
- Значит результат в третьей степени.
Где обычно ошибаются
- Считают предел равным единице, потому что основание стремится к единице.
- Путают показатель степени со знаменателем дроби в скобке.
- Применяют формулу, когда основание не стремится к единице.
Пример с решением
- Функция непрерывна, значит предел = значению в точке
- 3 · 1² + 9 · 1 − 7
- = 3 + 9 − 7 = 5
- Функция непрерывна, значит предел = значению в точке
- 1 · 1² + 1 · 1 − 7
- = 1 + 1 − 7 = −5
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.