Первый замечательный предел: как решать

Применить первый замечательный предел.

Определения

Первый замечательный предел: Тождество: предел отношения синуса аргумента к самому аргументу при стремлении аргумента к нулю равен единице.

Объяснение

Первый замечательный предел утверждает: отношение sin x к x стремится к единице, когда x стремится к нулю. Это не следует из подстановки - там неопределённость 0/0 - и доказывается отдельно.

Смысл его геометрический: при малых углах длина дуги и длина стягивающей её хорды почти совпадают. Поэтому синус малого угла практически равен самому углу, если угол измерен в радианах.

Радианная мера здесь принципиальна. В градусах предел равнялся бы не единице, а другому числу, потому что связь между дугой и углом была бы иной. Все формулы анализа опираются на радианы именно поэтому.

Применяют предел так: добиваются, чтобы под синусом и в знаменателе стояло одно и то же выражение. Если аргументы разные, домножают и делят на нужный множитель.

Разберём предел sin(3x)/x при x → 0. Под синусом 3x, а в знаменателе x. Домножим и разделим на 3: получим 3 · sin(3x)/(3x). Отношение стремится к единице, остаётся множитель 3.

Из первого замечательного предела выводятся и другие полезные соотношения: отношение тангенса к аргументу тоже стремится к единице, потому что тангенс равен синусу, делённому на косинус, а косинус нуля равен единице.

Проверять полезно численно: возьмите x = 0,01 и посчитайте отношение - оно будет очень близко к единице.

Правила и формулы

Первый замечательный пределlim (sin x)/x = 1 при x → 0
Работает только в радианах
Аргументы под синусом и в знаменателе обязаны совпадать
Приём: домножить и разделить на нужный множительsin(3x)/x = 3 · sin(3x)/(3x)
Следствиеlim (tg x)/x = 1

Порядок действий

Убедитесь, что аргумент стремится к нулю.
Сравните выражение под синусом и в знаменателе.
Если они разные, домножьте и разделите на нужный множитель.
Выделите отношение вида sin(t)/t и замените его единицей.
Вычислите оставшиеся множители.

Разбор примеров

Предел sin(3x)/x при x → 0

Под синусом 3x, в знаменателе x.
Домножаем и делим на 3: 3 · sin(3x)/(3x).
Отношение стремится к единице.
Остаётся 3.

Ответ: 3

Предел sin(5x)/(2x) при x → 0

Приводим к виду sin(5x)/(5x).
Множитель: 5/2.
Предел равен 5/2.

Ответ: 2,5

Предел (sin x)/(3x) при x → 0

Выносим 1/3.
Остаётся (1/3) · sin x/x.
Предел равен 1/3.

Ответ: 1/3

Где обычно ошибаются

Применяют предел, когда аргументы под синусом и в знаменателе разные.
Работают в градусах вместо радианов.
Сокращают синус с аргументом как множитель - это разные вещи.

Примеры с решением

1. Вычислите предел дроби sin(25x) / sin(5x) при x, стремящемся к нулю.

sin(25x) / sin(5x) = [sin(25x)/(25x)] · [(5x)/sin(5x)] · (25 : 5)
Обе скобки стремятся к единице
Предел = 25 : 5 = 5

Ответ: 5

2. Вычислите предел дроби sin(10x) / sin(2x) при x, стремящемся к нулю.

sin(10x) / sin(2x) = [sin(10x)/(10x)] · [(2x)/sin(2x)] · (10 : 2)
Обе скобки стремятся к единице
Предел = 10 : 2 = 5

Ответ: 5

3. Вычислите предел дроби tg(25x) / (5x) при x, стремящемся к нулю.

tg(25x) / (5x) = (25 : 5) · tg(25x) / (25x)
tg(25x) / (25x) → 1
Предел = 25 : 5 = 5

Ответ: 5

4. Вычислите предел дроби sin(4x) / sin(x) при x, стремящемся к нулю.

sin(4x) / sin(x) = [sin(4x)/(4x)] · [(x)/sin(x)] · (4 : 1)
Обе скобки стремятся к единице
Предел = 4 : 1 = 4

Ответ: 4

5. Вычислите предел дроби sin(10x) / (2x) при x, стремящемся к нулю.

sin(10x) / (2x) = (10 : 2) · sin(10x) / (10x)
sin(10x) / (10x) → 1
Предел = 10 : 2 = 5

Ответ: 5

Подсказки, если не получается

Приведите и числитель, и знаменатель к виду sin t / t.
Для этого домножьте и разделите на 25x и на 5x.
Останется отношение коэффициентов.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Пределы»

Полная справка по разделу — на странице Пределы.