Система неравенств: как решать
Решить систему неравенств.
Определения
- Система неравенств
- Несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решением служит пересечение решений всех неравенств.
- Пересечение промежутков
- Множество чисел, принадлежащих каждому из промежутков одновременно.
Объяснение
Система неравенств требует, чтобы все условия выполнялись сразу. Поэтому её решение - это пересечение решений отдельных неравенств, то есть та часть прямой, которая попала во все промежутки одновременно.
Решают систему по шагам: каждое неравенство решается отдельно, независимо от остальных. На этом этапе система не отличается от набора обычных линейных неравенств.
Затем найденные промежутки наносят на одну числовую прямую - обычно штриховкой, каждый своим уровнем. Общая часть, где штриховка наложилась от всех неравенств, и есть ответ. Рисунок здесь не украшение, а способ не ошибиться: подобрать пересечение в уме легко только для двух простых промежутков.
Возможен случай, когда общей части нет: промежутки не пересекаются. Тогда система решений не имеет, и это полноценный ответ, а не признак ошибки. Например, x > 5 и x < 2 одновременно выполняться не могут.
Обратная ситуация - когда один промежуток целиком лежит внутри другого. Тогда пересечение равно меньшему из них, и второе неравенство фактически ничего не добавляет. Такое тоже нормально.
Границы требуют внимания: точка входит в ответ, только если она входит в каждый промежуток. Если хотя бы в одном неравенстве она выколота, в ответе её тоже не будет.
Правила и формулы
- Решение системы - пересечение решений
- Каждое неравенство решают отдельно
- Промежутки наносят на одну прямую и берут общую часть
- Если пересечения нет, решений нет
x > 5 и x < 2 - несовместны - Граница входит, только если входит во все неравенства
Порядок действий
- Решите каждое неравенство системы по отдельности.
- Изобразите полученные промежутки на одной числовой прямой.
- Найдите участок, покрытый всеми промежутками сразу.
- Проверьте границы: они входят только если входят везде.
- Запишите ответ промежутком.
Разбор примеров
- Оба неравенства уже решены.
- Наносим на прямую: один промежуток правее 2, другой левее 7.
- Общая часть - между 2 и 7.
- Оба знака строгие - границы не входят.
- Первое: x > 3.
- Второе: x ≤ 5.
- Пересечение: от 3 до 5.
- Левая граница выколота, правая входит.
- Промежутки не имеют общих точек.
- Числа больше пяти и меньше двух одновременно не бывает.
Где обычно ошибаются
- Берут объединение промежутков вместо пересечения.
- Считают отсутствие пересечения ошибкой и ищут её в вычислениях.
- Включают в ответ границу, выколотую в одном из неравенств.
Примеры с решением
- Первое неравенство даёт x ≥ 2
- Второе — x < 4
- Целые числа от 2 до 3, всего 2
- Первое неравенство даёт x ≥ 4
- Второе — x < 8
- Целые числа от 4 до 7, всего 4
- Первое неравенство даёт x > −1
- Второе — x < 1
- Целые числа от 0 до 0, всего 1
- Первое неравенство даёт x > 0
- Второе — x ≤ 9
- Целые числа от 1 до 9, всего 9
- Первое неравенство даёт x > 4
- Второе — x ≤ 7
- Целые числа от 5 до 7, всего 3
Подсказки, если не получается
- Отметьте оба промежутка на одной числовой прямой.
- Подходит только их общая часть.
- Сосчитайте целые от 2 до 3.
Другие темы раздела «Неравенства»
Полная справка по разделу — на странице Неравенства.