Квадратное неравенство: как решать
Решить квадратное неравенство.
Определения
- Квадратное неравенство
- Неравенство вида ax² + bx + c > 0 или с другим знаком, где a не равно нулю.
- Нули квадратного трёхчлена
- Корни соответствующего уравнения ax² + bx + c = 0. Они делят числовую прямую на промежутки постоянного знака.
Объяснение
Квадратное неравенство решают через график, а не подбором. Идея такая: найти, где парабола пересекает ось x, а потом посмотреть, на каких участках она идёт выше оси, а на каких ниже.
Первый шаг - решить соответствующее уравнение и найти корни. Они делят прямую на промежутки. Внутри каждого промежутка знак трёхчлена постоянен: график не может перейти с одной стороны оси на другую, не пересекая её.
Второй шаг - определить, куда направлены ветви параболы. Если коэффициент при квадрате положителен, ветви идут вверх, и трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. Если коэффициент отрицателен, всё наоборот.
Отсюда простое рабочее правило для случая ветвей вверх: неравенство «больше нуля» даёт промежутки за пределами корней, «меньше нуля» - промежуток между корнями. Рисунок параболы стоит делать всегда, даже схематично: он снимает необходимость запоминать это правило.
Отдельно разбирают случаи, когда корней нет или он один. Если дискриминант отрицателен, парабола не пересекает ось: трёхчлен сохраняет знак на всей прямой, и ответом будет либо вся прямая, либо пустое множество. Если корень один, парабола касается оси, и в этой точке значение равно нулю.
Строгость знака решает, входят ли корни в ответ. При строгом неравенстве точки-корни выкалывают, при нестрогом включают. Забывать об этом нельзя - ответ формально станет неверным.
Правила и формулы
- Сначала находят корни соответствующего уравнения
- Корни делят прямую на промежутки постоянного знака
- При a > 0 ветви вверх: трёхчлен положителен вне корней
- При a > 0 трёхчлен отрицателен между корнями
- Строгий знак выкалывает корни, нестрогий включает
Порядок действий
- Приведите неравенство к виду со сравнением с нулём.
- Найдите корни соответствующего уравнения.
- Нарисуйте схематично параболу с учётом направления ветвей.
- Выберите промежутки, где график по нужную сторону от оси.
- Учтите строгость знака при записи границ.
Разбор примеров
- Корни уравнения: 2 и 3.
- Коэффициент при квадрате положителен - ветви вверх.
- Больше нуля - вне корней.
- Знак строгий, границы не входят.
- Корни те же: 2 и 3.
- Ветви вверх, меньше нуля - между корнями.
- Знак строгий.
- Дискриминант отрицательный, корней нет.
- Ветви вверх, парабола целиком выше оси.
Где обычно ошибаются
- Выбирают промежуток наугад, не глядя на направление ветвей.
- При строгом неравенстве включают корни в ответ.
- Считают, что при отсутствии корней неравенство не имеет решений.
Примеры с решением
- Корни: x₁ = 4, x₂ = 9
- Между корнями выражение отрицательно: x ∈ [4; 9]
- Целых чисел в этом промежутке: 6
- Корни: x₁ = −7, x₂ = 0
- Между корнями выражение отрицательно: x ∈ [−7; 0]
- Целых чисел в этом промежутке: 8
- Корни: x₁ = −7, x₂ = −1
- Между корнями выражение отрицательно: x ∈ [−7; −1]
- Целых чисел в этом промежутке: 7
- Корни: x₁ = −6, x₂ = −3
- Между корнями выражение отрицательно: x ∈ (−6; −3)
- Целых чисел в этом промежутке: 2
- Корни: x₁ = −2, x₂ = 1
- Между корнями выражение отрицательно: x ∈ (−2; 1)
- Целых чисел в этом промежутке: 2
Подсказки, если не получается
- Найдите корни квадратного трёхчлена.
- Ветви параболы направлены вверх, значит между корнями значения отрицательны.
- Сосчитайте целые числа от 4 до 9.
Другие темы раздела «Неравенства»
Полная справка по разделу — на странице Неравенства.