Деление на отрицательное: как решать
Решить неравенство с делением на отрицательное число.
Определения
- Переворот знака
- Замена знака неравенства на противоположный при умножении или делении обеих частей на отрицательное число: < становится >, ≤ становится ≥.
Объяснение
Это единственное место, где неравенства ведут себя принципиально иначе, чем уравнения, и именно поэтому здесь сосредоточена основная масса ошибок в теме.
Суть правила: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Было «меньше» - станет «больше», было «меньше или равно» - станет «больше или равно».
Убедиться в этом можно на числах. Верно, что 2 < 5. Умножим обе части на −1: слева −2, справа −5. Но −2 больше, чем −5, а не меньше. Значит, знак обязан был перевернуться, иначе получилось бы неверное утверждение.
Причина в устройстве числовой прямой: умножение на отрицательное число - это отражение относительно нуля. При отражении порядок точек меняется на обратный, то, что было левее, оказывается правее. Отсюда и переворот знака.
Есть способ вообще избежать этой операции: переносить переменную в ту часть, где её коэффициент останется положительным. Из неравенства −2x > 6 можно получить −6 > 2x, то есть x < −3, - тот же ответ, но без деления на отрицательное. Кому-то этот путь надёжнее.
Проверять ответ здесь особенно важно, потому что ошибка в знаке даёт формально аккуратное, но полностью неверное решение. Подставьте число из найденного промежутка в исходное неравенство: оно обязано выполняться.
Правила и формулы
- Деление на отрицательное число переворачивает знак
−2x > 6 → x < −3 - Проверка на числах
2 < 5, но −2 > −5 - Прибавление и вычитание знак не меняют
- Умножение на положительное число знак не меняет
- Можно избежать переворота, перенеся переменную в другую часть
Порядок действий
- Приведите неравенство к виду с одним слагаемым, содержащим переменную.
- Посмотрите на знак коэффициента при переменной.
- Если он отрицательный, разделите и переверните знак неравенства.
- Либо перенесите переменную в другую часть, чтобы коэффициент стал положительным.
- Проверьте подстановкой числа из полученного промежутка.
Разбор примеров
- Делим обе части на −2.
- Коэффициент отрицательный - знак переворачивается.
- x < −3.
- Проверка: при x = −4 получаем 8 > 6 - верно.
- Переносим тройку: −x ≤ −2.
- Делим на −1 и переворачиваем знак.
- x ≥ 2
- Переносим пятёрку: −3x < 6.
- Делим на −3 с переворотом знака.
- x > −2
Где обычно ошибаются
- Делят на отрицательное число, не перевернув знак.
- Переворачивают знак при обычном переносе слагаемого.
- Переворачивают знак дважды - и при делении, и при переносе.
Примеры с решением
- −3x ≤ 6
- Делим на −3 — число отрицательное, знак переворачивается: x ≥ −2
- Наименьшее целое решение — −2
- −6x < −54
- Делим на −6 — число отрицательное, знак переворачивается: x > 9
- Наименьшее целое решение — 10
- −2x < −18
- Делим на −2 — число отрицательное, знак переворачивается: x > 9
- Наименьшее целое решение — 10
- −5x ≤ −15
- Делим на −5 — число отрицательное, знак переворачивается: x ≥ 3
- Наименьшее целое решение — 3
- −2x > 6
- Делим на −2 — число отрицательное, знак переворачивается: x < −3
- Наибольшее целое решение — −4
Подсказки, если не получается
- Сначала перенесите свободный член.
- Коэффициент при x отрицательный — при делении знак ≤ станет ≥.
- Получится x ≥ −2.
Другие темы раздела «Неравенства»
Полная справка по разделу — на странице Неравенства.