Линейное неравенство: как решать

Решить линейное неравенство.

Определения

Неравенство

Запись, в которой две части соединены знаком <, >, ≤ или ≥. Решить неравенство - значит найти все значения переменной, при которых оно верно.

Решение неравенства

Обычно не одно число, а целый промежуток: x > 3 означает все числа правее тройки.

Числовой промежуток

Множество чисел между границами. Круглая скобка означает, что граница не входит, квадратная - что входит.

Объяснение

Неравенство отличается от уравнения ответом: у уравнения корни - отдельные числа, у неравенства решение - целый промежуток. Поэтому и записывают ответ иначе: не «x = 3», а «x > 3» или в виде промежутка.

Преобразования почти те же, что у уравнений. К обеим частям можно прибавлять и вычитать одно и то же - знак неравенства при этом не меняется. Смысл понятен: если одно число больше другого, то после прибавления одинаковой величины к обоим соотношение сохранится.

Умножать и делить обе части можно на положительное число, и знак тоже сохранится. А вот умножение или деление на отрицательное число знак переворачивает - это главное отличие от уравнений, и о нём речь в отдельной теме.

Стандартный ход решения такой же, как у линейного уравнения: раскрыть скобки, привести подобные, собрать переменные в одной части, числа в другой, разделить на коэффициент. Только на последнем шаге надо помнить про знак коэффициента.

Ответ записывают либо неравенством, либо промежутком. Строгий знак даёт круглую скобку: x > 3 это (3; +∞). Нестрогий даёт квадратную: x ≥ 3 это [3; +∞). У бесконечности скобка всегда круглая - бесконечность не число и в промежуток не входит.

Проверить ответ можно подстановкой любого числа из найденного промежутка и любого числа вне его. Первое обязано давать верное неравенство, второе - неверное. Это надёжнее, чем перепроверять выкладки.

Правила и формулы

• Прибавление к обеим частям знак не меняет
• Умножение на положительное число знак не меняет
• Умножение на отрицательное число знак переворачивает
• Строгий знак - круглая скобкаx > 3 это (3; +∞)
• Нестрогий знак - квадратная скобкаx ≥ 3 это [3; +∞)

Порядок действий

1. Раскройте скобки и приведите подобные.
2. Соберите переменные в одной части, числа в другой.
3. Разделите на коэффициент при переменной.
4. Если коэффициент отрицательный, переверните знак неравенства.
5. Запишите ответ промежутком и проверьте подстановкой.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Записывают ответ как у уравнения: x = 3 вместо промежутка.
• Ставят квадратную скобку у бесконечности.
• Забывают, что при строгом знаке граница в ответ не входит.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Перенесите свободный член в правую часть.
• Разделите обе части на 5 — число положительное, знак не меняется.
• Получится x > 4.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Неравенства»

• Деление на отрицательное
• Квадратное неравенство
• Метод интервалов
• Система неравенств

Полная справка по разделу — на странице Неравенства.