Неравенства
Неравенство решают как уравнение. Единственная разница: при делении или умножении на отрицательное число знак переворачивается.
Содержание
- Линейное неравенствоРешить линейное неравенство.
- Деление на отрицательноеРешить неравенство с делением на отрицательное число.
- Квадратное неравенствоРешить квадратное неравенство.
- Метод интерваловРешить неравенство методом интервалов.
- Система неравенствРешить систему неравенств.
Линейное неравенство
Определения
- Неравенство
- Запись, в которой две части соединены знаком <, >, ≤ или ≥. Решить неравенство - значит найти все значения переменной, при которых оно верно.
- Решение неравенства
- Обычно не одно число, а целый промежуток: x > 3 означает все числа правее тройки.
- Числовой промежуток
- Множество чисел между границами. Круглая скобка означает, что граница не входит, квадратная - что входит.
Объяснение
Неравенство отличается от уравнения ответом: у уравнения корни - отдельные числа, у неравенства решение - целый промежуток. Поэтому и записывают ответ иначе: не «x = 3», а «x > 3» или в виде промежутка.
Преобразования почти те же, что у уравнений. К обеим частям можно прибавлять и вычитать одно и то же - знак неравенства при этом не меняется. Смысл понятен: если одно число больше другого, то после прибавления одинаковой величины к обоим соотношение сохранится.
Умножать и делить обе части можно на положительное число, и знак тоже сохранится. А вот умножение или деление на отрицательное число знак переворачивает - это главное отличие от уравнений, и о нём речь в отдельной теме.
Стандартный ход решения такой же, как у линейного уравнения: раскрыть скобки, привести подобные, собрать переменные в одной части, числа в другой, разделить на коэффициент. Только на последнем шаге надо помнить про знак коэффициента.
Ответ записывают либо неравенством, либо промежутком. Строгий знак даёт круглую скобку: x > 3 это (3; +∞). Нестрогий даёт квадратную: x ≥ 3 это [3; +∞). У бесконечности скобка всегда круглая - бесконечность не число и в промежуток не входит.
Проверить ответ можно подстановкой любого числа из найденного промежутка и любого числа вне его. Первое обязано давать верное неравенство, второе - неверное. Это надёжнее, чем перепроверять выкладки.
Правила и формулы
- Прибавление к обеим частям знак не меняет
- Умножение на положительное число знак не меняет
- Умножение на отрицательное число знак переворачивает
- Строгий знак - круглая скобка
x > 3 это (3; +∞) - Нестрогий знак - квадратная скобка
x ≥ 3 это [3; +∞)
Порядок действий
- Раскройте скобки и приведите подобные.
- Соберите переменные в одной части, числа в другой.
- Разделите на коэффициент при переменной.
- Если коэффициент отрицательный, переверните знак неравенства.
- Запишите ответ промежутком и проверьте подстановкой.
Разбор примеров
- Переносим единицу: 2x < 6.
- Делим на 2 - число положительное, знак сохраняется.
- x < 3.
- Переносим: 3x ≥ 9.
- Делим на 3: x ≥ 3.
- Знак нестрогий - граница входит.
- Собираем: 5x − 3x > 8 − 2.
- 2x > 6.
- x > 3
Где обычно ошибаются
- Записывают ответ как у уравнения: x = 3 вместо промежутка.
- Ставят квадратную скобку у бесконечности.
- Забывают, что при строгом знаке граница в ответ не входит.
Деление на отрицательное
Определения
- Переворот знака
- Замена знака неравенства на противоположный при умножении или делении обеих частей на отрицательное число: < становится >, ≤ становится ≥.
Объяснение
Это единственное место, где неравенства ведут себя принципиально иначе, чем уравнения, и именно поэтому здесь сосредоточена основная масса ошибок в теме.
Суть правила: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Было «меньше» - станет «больше», было «меньше или равно» - станет «больше или равно».
Убедиться в этом можно на числах. Верно, что 2 < 5. Умножим обе части на −1: слева −2, справа −5. Но −2 больше, чем −5, а не меньше. Значит, знак обязан был перевернуться, иначе получилось бы неверное утверждение.
Причина в устройстве числовой прямой: умножение на отрицательное число - это отражение относительно нуля. При отражении порядок точек меняется на обратный, то, что было левее, оказывается правее. Отсюда и переворот знака.
Есть способ вообще избежать этой операции: переносить переменную в ту часть, где её коэффициент останется положительным. Из неравенства −2x > 6 можно получить −6 > 2x, то есть x < −3, - тот же ответ, но без деления на отрицательное. Кому-то этот путь надёжнее.
Проверять ответ здесь особенно важно, потому что ошибка в знаке даёт формально аккуратное, но полностью неверное решение. Подставьте число из найденного промежутка в исходное неравенство: оно обязано выполняться.
Правила и формулы
- Деление на отрицательное число переворачивает знак
−2x > 6 → x < −3 - Проверка на числах
2 < 5, но −2 > −5 - Прибавление и вычитание знак не меняют
- Умножение на положительное число знак не меняет
- Можно избежать переворота, перенеся переменную в другую часть
Порядок действий
- Приведите неравенство к виду с одним слагаемым, содержащим переменную.
- Посмотрите на знак коэффициента при переменной.
- Если он отрицательный, разделите и переверните знак неравенства.
- Либо перенесите переменную в другую часть, чтобы коэффициент стал положительным.
- Проверьте подстановкой числа из полученного промежутка.
Разбор примеров
- Делим обе части на −2.
- Коэффициент отрицательный - знак переворачивается.
- x < −3.
- Проверка: при x = −4 получаем 8 > 6 - верно.
- Переносим тройку: −x ≤ −2.
- Делим на −1 и переворачиваем знак.
- x ≥ 2
- Переносим пятёрку: −3x < 6.
- Делим на −3 с переворотом знака.
- x > −2
Где обычно ошибаются
- Делят на отрицательное число, не перевернув знак.
- Переворачивают знак при обычном переносе слагаемого.
- Переворачивают знак дважды - и при делении, и при переносе.
Квадратное неравенство
Определения
- Квадратное неравенство
- Неравенство вида ax² + bx + c > 0 или с другим знаком, где a не равно нулю.
- Нули квадратного трёхчлена
- Корни соответствующего уравнения ax² + bx + c = 0. Они делят числовую прямую на промежутки постоянного знака.
Объяснение
Квадратное неравенство решают через график, а не подбором. Идея такая: найти, где парабола пересекает ось x, а потом посмотреть, на каких участках она идёт выше оси, а на каких ниже.
Первый шаг - решить соответствующее уравнение и найти корни. Они делят прямую на промежутки. Внутри каждого промежутка знак трёхчлена постоянен: график не может перейти с одной стороны оси на другую, не пересекая её.
Второй шаг - определить, куда направлены ветви параболы. Если коэффициент при квадрате положителен, ветви идут вверх, и трёхчлен положителен вне корней и отрицателен между ними. Если коэффициент отрицателен, всё наоборот.
Отсюда простое рабочее правило для случая ветвей вверх: неравенство «больше нуля» даёт промежутки за пределами корней, «меньше нуля» - промежуток между корнями. Рисунок параболы стоит делать всегда, даже схематично: он снимает необходимость запоминать это правило.
Отдельно разбирают случаи, когда корней нет или он один. Если дискриминант отрицателен, парабола не пересекает ось: трёхчлен сохраняет знак на всей прямой, и ответом будет либо вся прямая, либо пустое множество. Если корень один, парабола касается оси, и в этой точке значение равно нулю.
Строгость знака решает, входят ли корни в ответ. При строгом неравенстве точки-корни выкалывают, при нестрогом включают. Забывать об этом нельзя - ответ формально станет неверным.
Правила и формулы
- Сначала находят корни соответствующего уравнения
- Корни делят прямую на промежутки постоянного знака
- При a > 0 ветви вверх: трёхчлен положителен вне корней
- При a > 0 трёхчлен отрицателен между корнями
- Строгий знак выкалывает корни, нестрогий включает
Порядок действий
- Приведите неравенство к виду со сравнением с нулём.
- Найдите корни соответствующего уравнения.
- Нарисуйте схематично параболу с учётом направления ветвей.
- Выберите промежутки, где график по нужную сторону от оси.
- Учтите строгость знака при записи границ.
Разбор примеров
- Корни уравнения: 2 и 3.
- Коэффициент при квадрате положителен - ветви вверх.
- Больше нуля - вне корней.
- Знак строгий, границы не входят.
- Корни те же: 2 и 3.
- Ветви вверх, меньше нуля - между корнями.
- Знак строгий.
- Дискриминант отрицательный, корней нет.
- Ветви вверх, парабола целиком выше оси.
Где обычно ошибаются
- Выбирают промежуток наугад, не глядя на направление ветвей.
- При строгом неравенстве включают корни в ответ.
- Считают, что при отсутствии корней неравенство не имеет решений.
Метод интервалов
Определения
- Метод интервалов
- Способ решения неравенств, при котором находят нули выражения, отмечают их на прямой и определяют знак выражения на каждом получившемся промежутке.
- Нули выражения
- Значения переменной, при которых выражение обращается в ноль. Для произведения это нули каждого множителя.
Объяснение
Метод интервалов - универсальный приём для неравенств, где выражение разложено на множители. Он работает и для квадратных, и для кубических, и для дробных неравенств, поэтому освоить его выгоднее, чем запоминать частные правила.
Основание метода такое: непрерывное выражение может сменить знак только там, где оно обращается в ноль. Значит, между соседними нулями знак постоянен, и достаточно определить его в одной точке промежутка.
Порядок работы. Сначала приводим неравенство к виду «выражение сравнивается с нулём» и раскладываем левую часть на множители. Затем находим все нули и отмечаем их на прямой в порядке возрастания - они разбивают прямую на промежутки.
Дальше определяют знаки. Можно подставить по одной пробной точке из каждого промежутка, а можно воспользоваться правилом чередования: при переходе через простой корень знак меняется. Если корень входит в чётной степени, знак не меняется - в этой точке график касается оси, а не пересекает её.
Удобно начинать справа: правее всех корней все множители положительны, значит произведение положительно, если старший коэффициент положителен. Дальше идём влево, меняя знак на каждом простом корне.
Для дробных неравенств нули знаменателя всегда выкалываются, даже при нестрогом знаке: в этих точках выражение не определено. Это отличает их от нулей числителя, которые при нестрогом знаке в ответ входят.
Правила и формулы
- Знак меняется только в нулях выражения
- Нули отмечают на прямой в порядке возрастания
- Правее всех корней знак совпадает со знаком старшего коэффициента
- При переходе через простой корень знак меняется
- Нули знаменателя выкалывают всегда
Порядок действий
- Приведите неравенство к сравнению с нулём.
- Разложите выражение на множители и найдите все нули.
- Отметьте нули на числовой прямой в порядке возрастания.
- Определите знак на крайнем правом промежутке и расставьте остальные чередованием.
- Выберите промежутки с нужным знаком, учтя строгость и нули знаменателя.
Разбор примеров
- Нули: 1 и 4.
- Правее четвёрки оба множителя положительны - знак плюс.
- Чередуем влево: между 1 и 4 минус, левее 1 плюс.
- Нужен минус - берём промежуток между корнями.
- Нули: −2 и 3.
- Правее тройки плюс, между −2 и 3 минус, левее −2 плюс.
- Нужен плюс, знак нестрогий - границы входят.
- Нули: −1, 0, 2.
- Правее двойки плюс, дальше чередуем: (0; 2) минус, (−1; 0) плюс, левее −1 минус.
- Берём промежутки со знаком плюс.
Где обычно ошибаются
- Расставляют нули на прямой не по возрастанию.
- Чередуют знак через корень чётной кратности, где он не меняется.
- Включают нули знаменателя в ответ при нестрогом неравенстве.
Система неравенств
Определения
- Система неравенств
- Несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решением служит пересечение решений всех неравенств.
- Пересечение промежутков
- Множество чисел, принадлежащих каждому из промежутков одновременно.
Объяснение
Система неравенств требует, чтобы все условия выполнялись сразу. Поэтому её решение - это пересечение решений отдельных неравенств, то есть та часть прямой, которая попала во все промежутки одновременно.
Решают систему по шагам: каждое неравенство решается отдельно, независимо от остальных. На этом этапе система не отличается от набора обычных линейных неравенств.
Затем найденные промежутки наносят на одну числовую прямую - обычно штриховкой, каждый своим уровнем. Общая часть, где штриховка наложилась от всех неравенств, и есть ответ. Рисунок здесь не украшение, а способ не ошибиться: подобрать пересечение в уме легко только для двух простых промежутков.
Возможен случай, когда общей части нет: промежутки не пересекаются. Тогда система решений не имеет, и это полноценный ответ, а не признак ошибки. Например, x > 5 и x < 2 одновременно выполняться не могут.
Обратная ситуация - когда один промежуток целиком лежит внутри другого. Тогда пересечение равно меньшему из них, и второе неравенство фактически ничего не добавляет. Такое тоже нормально.
Границы требуют внимания: точка входит в ответ, только если она входит в каждый промежуток. Если хотя бы в одном неравенстве она выколота, в ответе её тоже не будет.
Правила и формулы
- Решение системы - пересечение решений
- Каждое неравенство решают отдельно
- Промежутки наносят на одну прямую и берут общую часть
- Если пересечения нет, решений нет
x > 5 и x < 2 - несовместны - Граница входит, только если входит во все неравенства
Порядок действий
- Решите каждое неравенство системы по отдельности.
- Изобразите полученные промежутки на одной числовой прямой.
- Найдите участок, покрытый всеми промежутками сразу.
- Проверьте границы: они входят только если входят везде.
- Запишите ответ промежутком.
Разбор примеров
- Оба неравенства уже решены.
- Наносим на прямую: один промежуток правее 2, другой левее 7.
- Общая часть - между 2 и 7.
- Оба знака строгие - границы не входят.
- Первое: x > 3.
- Второе: x ≤ 5.
- Пересечение: от 3 до 5.
- Левая граница выколота, правая входит.
- Промежутки не имеют общих точек.
- Числа больше пяти и меньше двух одновременно не бывает.
Где обычно ошибаются
- Берут объединение промежутков вместо пересечения.
- Считают отсутствие пересечения ошибкой и ищут её в вычислениях.
- Включают в ответ границу, выколотую в одном из неравенств.
Пример с решением
- 5x > 12 + 8
- 5x > 20
- x > 4, значит наименьшее целое решение — 5
- 6x < 37 − 1
- 6x < 36
- x < 6, значит наибольшее целое решение — 5
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.