Метод интервалов: как решать
Решить неравенство методом интервалов.
Определения
- Метод интервалов
- Способ решения неравенств, при котором находят нули выражения, отмечают их на прямой и определяют знак выражения на каждом получившемся промежутке.
- Нули выражения
- Значения переменной, при которых выражение обращается в ноль. Для произведения это нули каждого множителя.
Объяснение
Метод интервалов - универсальный приём для неравенств, где выражение разложено на множители. Он работает и для квадратных, и для кубических, и для дробных неравенств, поэтому освоить его выгоднее, чем запоминать частные правила.
Основание метода такое: непрерывное выражение может сменить знак только там, где оно обращается в ноль. Значит, между соседними нулями знак постоянен, и достаточно определить его в одной точке промежутка.
Порядок работы. Сначала приводим неравенство к виду «выражение сравнивается с нулём» и раскладываем левую часть на множители. Затем находим все нули и отмечаем их на прямой в порядке возрастания - они разбивают прямую на промежутки.
Дальше определяют знаки. Можно подставить по одной пробной точке из каждого промежутка, а можно воспользоваться правилом чередования: при переходе через простой корень знак меняется. Если корень входит в чётной степени, знак не меняется - в этой точке график касается оси, а не пересекает её.
Удобно начинать справа: правее всех корней все множители положительны, значит произведение положительно, если старший коэффициент положителен. Дальше идём влево, меняя знак на каждом простом корне.
Для дробных неравенств нули знаменателя всегда выкалываются, даже при нестрогом знаке: в этих точках выражение не определено. Это отличает их от нулей числителя, которые при нестрогом знаке в ответ входят.
Правила и формулы
- Знак меняется только в нулях выражения
- Нули отмечают на прямой в порядке возрастания
- Правее всех корней знак совпадает со знаком старшего коэффициента
- При переходе через простой корень знак меняется
- Нули знаменателя выкалывают всегда
Порядок действий
- Приведите неравенство к сравнению с нулём.
- Разложите выражение на множители и найдите все нули.
- Отметьте нули на числовой прямой в порядке возрастания.
- Определите знак на крайнем правом промежутке и расставьте остальные чередованием.
- Выберите промежутки с нужным знаком, учтя строгость и нули знаменателя.
Разбор примеров
- Нули: 1 и 4.
- Правее четвёрки оба множителя положительны - знак плюс.
- Чередуем влево: между 1 и 4 минус, левее 1 плюс.
- Нужен минус - берём промежуток между корнями.
- Нули: −2 и 3.
- Правее тройки плюс, между −2 и 3 минус, левее −2 плюс.
- Нужен плюс, знак нестрогий - границы входят.
- Нули: −1, 0, 2.
- Правее двойки плюс, дальше чередуем: (0; 2) минус, (−1; 0) плюс, левее −1 минус.
- Берём промежутки со знаком плюс.
Где обычно ошибаются
- Расставляют нули на прямой не по возрастанию.
- Чередуют знак через корень чётной кратности, где он не меняется.
- Включают нули знаменателя в ответ при нестрогом неравенстве.
Примеры с решением
- Корни: −5 и 1
- Произведение положительно вне корней: x < −5 или x > 1
- На отрезке от −6 до 6 таких целых чисел 6
- Корни: 2 и 9
- Произведение отрицательно между корнями: 2 < x < 9
- На отрезке от −4 до 15 таких целых чисел 6
- Корни: 0 и 2
- Произведение положительно вне корней: x < 0 или x > 2
- На отрезке от −3 до 5 таких целых чисел 6
- Корни: −3 и 0
- Произведение отрицательно между корнями: −3 < x < 0
- На отрезке от −9 до 1 таких целых чисел 2
- Корни: −5 и 1
- Произведение отрицательно между корнями: −5 < x < 1
- На отрезке от −10 до 7 таких целых чисел 5
Подсказки, если не получается
- Отметьте корни на числовой прямой.
- Справа от большего корня произведение положительно, дальше знаки чередуются.
- Сосчитайте подходящие целые от −6 до 6.
Другие темы раздела «Неравенства»
Полная справка по разделу — на странице Неравенства.