Нуль функции: как решать
Найти нуль функции.
Определения
- Нуль функции
- Значение аргумента, при котором функция обращается в ноль. Геометрически - абсцисса точки пересечения графика с осью x.
Объяснение
Нуль функции - это не значение функции, а значение аргумента. Путаница здесь частая: спрашивают «нуль функции», а отвечают «ноль», имея в виду значение y. Правильный ответ - то число x, при котором y обращается в ноль.
Геометрический смысл прямой: график пересекает ось x именно в нулях функции. Поэтому вопрос «где график пересекает ось абсцисс» и вопрос «чему равны нули функции» - один и тот же вопрос.
Находят нули решением уравнения: приравнивают формулу функции к нулю и решают относительно x. Для линейной функции y = 2x − 6 получаем 2x − 6 = 0, откуда x = 3.
У линейной функции с ненулевым k нуль ровно один - прямая пересекает ось x в одной точке. Если k равен нулю, функция постоянна: при b ≠ 0 нулей нет вовсе, при b = 0 нулём является любое число.
У квадратичной функции нулей может быть два, один или ни одного - это те же три случая, что и у корней квадратного уравнения, и определяются они дискриминантом. Геометрически: парабола пересекает ось, касается её или проходит мимо.
Проверка простая: подставьте найденное значение в функцию и убедитесь, что получился ноль. Если получилось другое число, ошибка в решении уравнения, и искать её надо в переносе слагаемых или в делении на коэффициент.
Правила и формулы
- Нуль функции - значение аргумента, а не значение функции
- Находят решением уравнения
f(x) = 0 - Пример
2x − 6 = 0 → x = 3 - Геометрически - точка пересечения с осью x
- У линейной функции с k ≠ 0 нуль ровно один
Порядок действий
- Запишите формулу функции.
- Приравняйте её к нулю.
- Решите полученное уравнение относительно x.
- Запишите ответ как значение аргумента.
- Проверьте подстановкой: функция обязана обратиться в ноль.
Разбор примеров
- Приравниваем к нулю: 2x − 6 = 0.
- Переносим: 2x = 6.
- x = 3.
- Проверка: 2 · 3 − 6 = 0.
- Приравниваем: x² − 9 = 0.
- Раскладываем: (x − 3)(x + 3) = 0.
- Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль.
- −4x + 8 = 0.
- −4x = −8.
- x = 2
Где обычно ошибаются
- Отвечают «ноль», путая нуль функции со значением функции.
- Находят значение функции при x = 0 вместо решения уравнения.
- У квадратичной функции указывают только один нуль из двух.
Примеры с решением
- 6x − 30 = 0
- 6x = 30
- x = 5
- 8x + 0 = 0
- 8x = 0
- x = 0
- −8x + 48 = 0
- −8x = −48
- x = 6
- −4x + 28 = 0
- −4x = −28
- x = 7
- 4x + 24 = 0
- 4x = −24
- x = −6
Подсказки, если не получается
- В точке пересечения с осью Ox значение y равно нулю.
- Приравняйте правую часть к нулю.
- 6x = 30.
Другие темы раздела «Функции и графики»
Полная справка по разделу — на странице Функции и графики.