Обратная пропорциональность: как решать
Найти коэффициент обратной пропорциональности.
Определения
- Обратная пропорциональность
- Функция вида y = k/x при k ≠ 0. Произведение переменных постоянно и равно k.
- Гипербола
- График обратной пропорциональности. Состоит из двух ветвей, не пересекающих оси координат.
Объяснение
Обратная пропорциональность описывает связь, при которой произведение величин постоянно. Чем больше скорость, тем меньше время на тот же путь; чем больше рабочих, тем меньше дней на ту же работу. Во всех этих случаях произведение сохраняется.
Из этого сразу получается формула. Если y = k/x, то, умножив обе части на x, получаем xy = k. Значит коэффициент k равен произведению координат любой точки графика, и найти его можно по одной-единственной точке.
Для точки (2; 6) получаем k = 2 · 6 = 12, значит функция имеет вид y = 12/x. Проверить можно на другой точке графика: при x = 3 должно получиться y = 4, и произведение снова даёт 12.
График называется гиперболой и состоит из двух отдельных ветвей. При положительном k ветви лежат в первой и третьей четвертях, при отрицательном - во второй и четвёртой. Ветви приближаются к осям, но никогда их не касаются.
Ноль исключён из области определения: делить на ноль нельзя. Поэтому x = 0 в область определения не входит, и значение y = 0 функция не принимает - числитель k отличен от нуля.
Не путайте обратную пропорциональность с прямой. У прямой постоянно отношение y/x, у обратной - произведение xy. Проверить тип связи можно по двум точкам: если произведения совпали, зависимость обратная.
Правила и формулы
- Обратная пропорциональность
y = k/x, k ≠ 0 - Коэффициент равен произведению координат
k = x · y - Пример
через точку (2; 6): k = 12, значит y = 12/x - При k > 0 ветви в первой и третьей четвертях
- Ноль не входит в область определения
Порядок действий
- Возьмите координаты известной точки графика.
- Перемножьте их - получите коэффициент k.
- Запишите функцию в виде y = k/x.
- Проверьте по второй точке, если она дана.
- Определите расположение ветвей по знаку k.
Разбор примеров
- Для обратной пропорциональности k = x · y.
- k = 2 · 6 = 12.
- Функция: y = 12/x.
- k = −3 · 4 = −12.
- Коэффициент отрицательный - ветви во второй и четвёртой четвертях.
- Подставляем: y = 12 : 4.
- y = 3.
- Проверка: 4 · 3 = 12.
Где обычно ошибаются
- Делят координаты вместо умножения - это формула для прямой пропорциональности.
- Считают, что график пересекает оси координат.
- Включают ноль в область определения.
Примеры с решением
- k = x · y
- k = 1 · −27 = −27
- k = x · y
- k = 2 · 24 = 48
- k = x · y
- k = 12 · 2 = 24
- k = x · y
- k = 1 · 2 = 2
- k = x · y
- k = 3 · 1 = 3
Подсказки, если не получается
- Умножьте обе части равенства на x.
- Получится k = x · y.
- Посчитайте 1 · −27.
Другие темы раздела «Функции и графики»
Полная справка по разделу — на странице Функции и графики.