Коэффициент линейной функции: как решать
Найти коэффициент линейной функции.
Определения
- Линейная функция
- Функция вида y = kx + b. Её график - прямая линия.
- Угловой коэффициент
- Число k в записи y = kx + b. Показывает, на сколько меняется y при увеличении x на единицу, то есть наклон прямой.
- Свободный член
- Число b в записи y = kx + b. Равен значению y при x = 0, то есть ординате точки пересечения с осью y.
Объяснение
Линейная функция описывает равномерное изменение: каждый следующий шаг по x меняет y на одну и ту же величину. Именно поэтому её график - прямая, а не кривая.
Коэффициент k отвечает за наклон. Если k положителен, прямая идёт вверх слева направо, функция возрастает. Если отрицателен - идёт вниз, функция убывает. Если k равен нулю, прямая горизонтальна, и функция постоянна.
Величина k показывает скорость изменения: при k = 2 увеличение x на единицу увеличивает y на два. Чем больше модуль k, тем круче прямая; при малом модуле прямая идёт почти горизонтально.
Чтобы найти k по двум точкам, берут отношение приращений: разность игреков делят на разность иксов. Для точек (1; 3) и (3; 7) получаем (7 − 3) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2. Порядок вычитания должен быть одинаковым в числителе и знаменателе - иначе знак получится противоположным.
Найдя k, коэффициент b находят подстановкой любой из точек в уравнение. Для нашего примера: 3 = 2 · 1 + b, откуда b = 1, и функция имеет вид y = 2x + 1.
Проверять надо по второй точке: подставьте её координаты в найденную формулу. Если равенство выполнилось, обе точки лежат на прямой, и функция найдена верно. Проверка по той же точке, из которой находили b, ничего не докажет - она сойдётся при любой ошибке в k.
Правила и формулы
- Линейная функция
y = kx + b - Угловой коэффициент по двум точкам
k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) - k > 0 - функция возрастает, k < 0 - убывает
- b равен значению y при x = 0
- b находят подстановкой точки после нахождения k
Порядок действий
- Выпишите координаты двух известных точек.
- Найдите разность игреков и разность иксов в одинаковом порядке.
- Разделите первую на вторую - получите k.
- Подставьте любую точку в y = kx + b и найдите b.
- Проверьте формулу по второй точке.
Разбор примеров
- Разность игреков: 7 − 3 = 4.
- Разность иксов: 3 − 1 = 2.
- k = 4 : 2 = 2.
- Подставляем точку (1; 3) в y = 2x + b.
- 3 = 2 · 1 + b.
- b = 1.
- Проверка по второй точке: 2 · 3 + 1 = 7.
- Разность игреков: 0 − 4 = −4.
- Разность иксов: 2 − 0 = 2.
- k = −4 : 2 = −2.
Где обычно ошибаются
- Вычитают координаты в разном порядке и получают неверный знак k.
- Делят разность иксов на разность игреков.
- Находят k и забывают найти b.
Примеры с решением
- −15 = k · 7 + 6
- k · 7 = −21
- k = −21 : 7 = −3
- 49 = k · 7 − 7
- k · 7 = 56
- k = 56 : 7 = 8
- −2 = k · 5 + 3
- k · 5 = −5
- k = −5 : 5 = −1
- −7 = k · 5 + 8
- k · 5 = −15
- k = −15 : 5 = −3
- −10 = k · 2 + 0
- k · 2 = −10
- k = −10 : 2 = −5
Подсказки, если не получается
- Подставьте координаты точки в формулу.
- Получится обычное линейное уравнение относительно k.
- k · 7 = −21.
Другие темы раздела «Функции и графики»
Полная справка по разделу — на странице Функции и графики.