Пересечение двух прямых: как решать
Найти точку пересечения двух прямых.
Определения
- Точка пересечения
- Точка, принадлежащая обеим прямым одновременно. Её координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых.
- Параллельные прямые
- Прямые с одинаковым угловым коэффициентом и разными свободными членами. Общих точек не имеют.
Объяснение
Точка пересечения принадлежит обеим прямым, значит её координаты удовлетворяют обоим уравнениям сразу. Отсюда способ решения: составить систему из двух уравнений и решить её.
Если обе функции заданы в виде y = kx + b, проще всего приравнять правые части. Обе они равны y, значит равны и между собой. Из полученного уравнения находят x, а затем подставляют его в любую из функций и находят y.
Для прямых y = 2x + 1 и y = −x + 7 приравниваем: 2x + 1 = −x + 7. Собираем: 3x = 6, откуда x = 2. Подставляем в первую функцию: y = 2 · 2 + 1 = 5. Точка пересечения (2; 5).
Проверять обязательно по второй функции: −2 + 7 = 5 - сходится. Если бы значения не совпали, значит ошибка в вычислениях, потому что точка обязана лежать на обеих прямых.
Пересечение существует не всегда. Если угловые коэффициенты равны, прямые параллельны, и общих точек нет - при попытке решить уравнение переменные уничтожатся, останется неверное числовое равенство. Если при этом равны и свободные члены, прямые совпадают, и общих точек бесконечно много.
Геометрический смысл стоит держать в голове: решение системы двух линейных уравнений - это и есть координаты точки пересечения. Поэтому три случая для системы (одно решение, ни одного, бесконечно много) - это три взаимных положения прямых.
Правила и формулы
- Координаты точки удовлетворяют обоим уравнениям
- Приравнивают правые части
2x + 1 = −x + 7 - Найдя x, подставляют его в любую функцию
- Равные угловые коэффициенты - прямые параллельны
- Проверка - подстановка точки во вторую функцию
Порядок действий
- Сравните угловые коэффициенты: если они равны, пересечения нет.
- Приравняйте правые части уравнений.
- Решите полученное уравнение и найдите x.
- Подставьте x в любую из функций и найдите y.
- Проверьте точку по второй функции.
Разбор примеров
- Приравниваем: 2x + 1 = −x + 7.
- Собираем: 3x = 6, значит x = 2.
- Подставляем: y = 2 · 2 + 1 = 5.
- Проверка: −2 + 7 = 5.
- Приравниваем: x − 3 = 3x + 1.
- −2x = 4, значит x = −2.
- y = −2 − 3 = −5.
- Угловые коэффициенты равны.
- Прямые параллельны.
Где обычно ошибаются
- Находят x и забывают найти y.
- Не проверяют точку по второй функции и не замечают ошибки.
- Пытаются решать систему для параллельных прямых вместо вывода об отсутствии пересечения.
Примеры с решением
- −x + 8 = 3x − 20
- −4x = −28
- x = 7
- 0x + 9 = 2x + 11
- −2x = 2
- x = −1
- 3x + 3 = −2x − 12
- 5x = −15
- x = −3
- 3x + 6 = 8x − 4
- −5x = −10
- x = 2
- 4x − 8 = −6x + 22
- 10x = 30
- x = 3
Подсказки, если не получается
- В общей точке значения обеих функций совпадают.
- Приравняйте правые части и решите уравнение.
- Слагаемые с x соберите слева, числа — справа.
Другие темы раздела «Функции и графики»
Полная справка по разделу — на странице Функции и графики.