Вершина параболы: как решать
Найти вершину параболы.
Определения
- Парабола
- График квадратичной функции y = ax² + bx + c. Симметричная кривая, ветви которой направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
- Вершина параболы
- Точка, в которой парабола меняет направление. При ветвях вверх это самая нижняя точка графика, при ветвях вниз - самая верхняя.
- Ось симметрии
- Вертикальная прямая, проходящая через вершину. Относительно неё парабола симметрична.
Объяснение
Вершина - ключевая точка параболы: через неё проходит ось симметрии, и в ней функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Поэтому задачи на минимум и максимум квадратичной функции сводятся к нахождению вершины.
Абсцисса вершины считается по формуле x₀ = −b/(2a). Формула не случайна: она получается выделением полного квадрата, и её же можно увидеть как середину между корнями - вершина лежит ровно посередине, потому что парабола симметрична.
Ординату вершины находят подстановкой: y₀ = f(x₀). Отдельной формулы запоминать не нужно, достаточно подставить найденный x в исходную функцию.
Направление ветвей определяет, что именно даёт вершина. При a > 0 ветви вверх, и в вершине функция принимает наименьшее значение. При a < 0 ветви вниз, и в вершине - наибольшее. Это надо проговаривать в ответе, если задача спрашивает про минимум или максимум.
Для функции y = x² − 4x + 3 считаем: a = 1, b = −4, значит x₀ = 4/2 = 2. Подставляем: y₀ = 4 − 8 + 3 = −1. Вершина в точке (2; −1), ветви вверх, наименьшее значение функции равно −1.
Проверить можно симметрией: возьмите два значения x, равноудалённых от x₀, и убедитесь, что функция принимает в них одинаковые значения. Для нашего примера при x = 1 и x = 3 получаем по 0 - сходится.
Правила и формулы
- Абсцисса вершины
x₀ = −b / (2a) - Ордината вершины
y₀ = f(x₀) - При a > 0 в вершине наименьшее значение
- При a < 0 в вершине наибольшее значение
- Вершина лежит посередине между корнями
Порядок действий
- Выпишите коэффициенты a, b, c со знаками.
- Посчитайте абсциссу вершины по формуле −b/(2a).
- Подставьте её в функцию и найдите ординату.
- Определите направление ветвей по знаку a.
- Проверьте симметрией: равноудалённые точки дают равные значения.
Разбор примеров
- a = 1, b = −4.
- x₀ = 4 : 2 = 2.
- y₀ = 4 − 8 + 3 = −1.
- Ветви вверх - это минимум.
- a = −1, b = 6.
- x₀ = −6 : (−2) = 3.
- y₀ = −9 + 18 = 9.
- Ветви вниз - это максимум.
- x₀ = −2 : 2 = −1.
- y₀ = 1 − 2 + 5 = 4.
- a > 0, значит это минимум.
Где обычно ошибаются
- Теряют минус в формуле и получают x₀ с противоположным знаком.
- Делят на a вместо 2a.
- В ответ на вопрос о наименьшем значении дают x₀ вместо y₀.
Примеры с решением
- x₀ = −b : (2a) = −20 : 4 = −5
- y₀ = f(−5) = 9
- x₀ = −b : (2a) = 24 : −8 = −3
- y₀ = f(−3) = 2
- x₀ = −b : (2a) = −8 : −4 = 2
- Абсцисса вершины равна 2
- x₀ = −b : (2a) = −18 : 6 = −3
- y₀ = f(−3) = 2
- x₀ = −b : (2a) = 4 : −2 = −2
- y₀ = f(−2) = −5
Подсказки, если не получается
- Вершина параболы лежит на её оси симметрии.
- Абсцисса вершины считается по формуле x₀ = −b : (2a).
- Найдите x₀ = −5, затем значение функции в этой точке.
Другие темы раздела «Функции и графики»
Полная справка по разделу — на странице Функции и графики.