Функции и графики
Если точка лежит на графике, её координаты обращают формулу функции в верное равенство.
Содержание
- Коэффициент линейной функцииНайти коэффициент линейной функции.
- Нуль функцииНайти нуль функции.
- Вершина параболыНайти вершину параболы.
- Обратная пропорциональностьНайти коэффициент обратной пропорциональности.
- Пересечение двух прямыхНайти точку пересечения двух прямых.
Коэффициент линейной функции
Определения
- Линейная функция
- Функция вида y = kx + b. Её график - прямая линия.
- Угловой коэффициент
- Число k в записи y = kx + b. Показывает, на сколько меняется y при увеличении x на единицу, то есть наклон прямой.
- Свободный член
- Число b в записи y = kx + b. Равен значению y при x = 0, то есть ординате точки пересечения с осью y.
Объяснение
Линейная функция описывает равномерное изменение: каждый следующий шаг по x меняет y на одну и ту же величину. Именно поэтому её график - прямая, а не кривая.
Коэффициент k отвечает за наклон. Если k положителен, прямая идёт вверх слева направо, функция возрастает. Если отрицателен - идёт вниз, функция убывает. Если k равен нулю, прямая горизонтальна, и функция постоянна.
Величина k показывает скорость изменения: при k = 2 увеличение x на единицу увеличивает y на два. Чем больше модуль k, тем круче прямая; при малом модуле прямая идёт почти горизонтально.
Чтобы найти k по двум точкам, берут отношение приращений: разность игреков делят на разность иксов. Для точек (1; 3) и (3; 7) получаем (7 − 3) : (3 − 1) = 4 : 2 = 2. Порядок вычитания должен быть одинаковым в числителе и знаменателе - иначе знак получится противоположным.
Найдя k, коэффициент b находят подстановкой любой из точек в уравнение. Для нашего примера: 3 = 2 · 1 + b, откуда b = 1, и функция имеет вид y = 2x + 1.
Проверять надо по второй точке: подставьте её координаты в найденную формулу. Если равенство выполнилось, обе точки лежат на прямой, и функция найдена верно. Проверка по той же точке, из которой находили b, ничего не докажет - она сойдётся при любой ошибке в k.
Правила и формулы
- Линейная функция
y = kx + b - Угловой коэффициент по двум точкам
k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) - k > 0 - функция возрастает, k < 0 - убывает
- b равен значению y при x = 0
- b находят подстановкой точки после нахождения k
Порядок действий
- Выпишите координаты двух известных точек.
- Найдите разность игреков и разность иксов в одинаковом порядке.
- Разделите первую на вторую - получите k.
- Подставьте любую точку в y = kx + b и найдите b.
- Проверьте формулу по второй точке.
Разбор примеров
- Разность игреков: 7 − 3 = 4.
- Разность иксов: 3 − 1 = 2.
- k = 4 : 2 = 2.
- Подставляем точку (1; 3) в y = 2x + b.
- 3 = 2 · 1 + b.
- b = 1.
- Проверка по второй точке: 2 · 3 + 1 = 7.
- Разность игреков: 0 − 4 = −4.
- Разность иксов: 2 − 0 = 2.
- k = −4 : 2 = −2.
Где обычно ошибаются
- Вычитают координаты в разном порядке и получают неверный знак k.
- Делят разность иксов на разность игреков.
- Находят k и забывают найти b.
Нуль функции
Определения
- Нуль функции
- Значение аргумента, при котором функция обращается в ноль. Геометрически - абсцисса точки пересечения графика с осью x.
Объяснение
Нуль функции - это не значение функции, а значение аргумента. Путаница здесь частая: спрашивают «нуль функции», а отвечают «ноль», имея в виду значение y. Правильный ответ - то число x, при котором y обращается в ноль.
Геометрический смысл прямой: график пересекает ось x именно в нулях функции. Поэтому вопрос «где график пересекает ось абсцисс» и вопрос «чему равны нули функции» - один и тот же вопрос.
Находят нули решением уравнения: приравнивают формулу функции к нулю и решают относительно x. Для линейной функции y = 2x − 6 получаем 2x − 6 = 0, откуда x = 3.
У линейной функции с ненулевым k нуль ровно один - прямая пересекает ось x в одной точке. Если k равен нулю, функция постоянна: при b ≠ 0 нулей нет вовсе, при b = 0 нулём является любое число.
У квадратичной функции нулей может быть два, один или ни одного - это те же три случая, что и у корней квадратного уравнения, и определяются они дискриминантом. Геометрически: парабола пересекает ось, касается её или проходит мимо.
Проверка простая: подставьте найденное значение в функцию и убедитесь, что получился ноль. Если получилось другое число, ошибка в решении уравнения, и искать её надо в переносе слагаемых или в делении на коэффициент.
Правила и формулы
- Нуль функции - значение аргумента, а не значение функции
- Находят решением уравнения
f(x) = 0 - Пример
2x − 6 = 0 → x = 3 - Геометрически - точка пересечения с осью x
- У линейной функции с k ≠ 0 нуль ровно один
Порядок действий
- Запишите формулу функции.
- Приравняйте её к нулю.
- Решите полученное уравнение относительно x.
- Запишите ответ как значение аргумента.
- Проверьте подстановкой: функция обязана обратиться в ноль.
Разбор примеров
- Приравниваем к нулю: 2x − 6 = 0.
- Переносим: 2x = 6.
- x = 3.
- Проверка: 2 · 3 − 6 = 0.
- Приравниваем: x² − 9 = 0.
- Раскладываем: (x − 3)(x + 3) = 0.
- Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль.
- −4x + 8 = 0.
- −4x = −8.
- x = 2
Где обычно ошибаются
- Отвечают «ноль», путая нуль функции со значением функции.
- Находят значение функции при x = 0 вместо решения уравнения.
- У квадратичной функции указывают только один нуль из двух.
Вершина параболы
Определения
- Парабола
- График квадратичной функции y = ax² + bx + c. Симметричная кривая, ветви которой направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
- Вершина параболы
- Точка, в которой парабола меняет направление. При ветвях вверх это самая нижняя точка графика, при ветвях вниз - самая верхняя.
- Ось симметрии
- Вертикальная прямая, проходящая через вершину. Относительно неё парабола симметрична.
Объяснение
Вершина - ключевая точка параболы: через неё проходит ось симметрии, и в ней функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Поэтому задачи на минимум и максимум квадратичной функции сводятся к нахождению вершины.
Абсцисса вершины считается по формуле x₀ = −b/(2a). Формула не случайна: она получается выделением полного квадрата, и её же можно увидеть как середину между корнями - вершина лежит ровно посередине, потому что парабола симметрична.
Ординату вершины находят подстановкой: y₀ = f(x₀). Отдельной формулы запоминать не нужно, достаточно подставить найденный x в исходную функцию.
Направление ветвей определяет, что именно даёт вершина. При a > 0 ветви вверх, и в вершине функция принимает наименьшее значение. При a < 0 ветви вниз, и в вершине - наибольшее. Это надо проговаривать в ответе, если задача спрашивает про минимум или максимум.
Для функции y = x² − 4x + 3 считаем: a = 1, b = −4, значит x₀ = 4/2 = 2. Подставляем: y₀ = 4 − 8 + 3 = −1. Вершина в точке (2; −1), ветви вверх, наименьшее значение функции равно −1.
Проверить можно симметрией: возьмите два значения x, равноудалённых от x₀, и убедитесь, что функция принимает в них одинаковые значения. Для нашего примера при x = 1 и x = 3 получаем по 0 - сходится.
Правила и формулы
- Абсцисса вершины
x₀ = −b / (2a) - Ордината вершины
y₀ = f(x₀) - При a > 0 в вершине наименьшее значение
- При a < 0 в вершине наибольшее значение
- Вершина лежит посередине между корнями
Порядок действий
- Выпишите коэффициенты a, b, c со знаками.
- Посчитайте абсциссу вершины по формуле −b/(2a).
- Подставьте её в функцию и найдите ординату.
- Определите направление ветвей по знаку a.
- Проверьте симметрией: равноудалённые точки дают равные значения.
Разбор примеров
- a = 1, b = −4.
- x₀ = 4 : 2 = 2.
- y₀ = 4 − 8 + 3 = −1.
- Ветви вверх - это минимум.
- a = −1, b = 6.
- x₀ = −6 : (−2) = 3.
- y₀ = −9 + 18 = 9.
- Ветви вниз - это максимум.
- x₀ = −2 : 2 = −1.
- y₀ = 1 − 2 + 5 = 4.
- a > 0, значит это минимум.
Где обычно ошибаются
- Теряют минус в формуле и получают x₀ с противоположным знаком.
- Делят на a вместо 2a.
- В ответ на вопрос о наименьшем значении дают x₀ вместо y₀.
Обратная пропорциональность
Определения
- Обратная пропорциональность
- Функция вида y = k/x при k ≠ 0. Произведение переменных постоянно и равно k.
- Гипербола
- График обратной пропорциональности. Состоит из двух ветвей, не пересекающих оси координат.
Объяснение
Обратная пропорциональность описывает связь, при которой произведение величин постоянно. Чем больше скорость, тем меньше время на тот же путь; чем больше рабочих, тем меньше дней на ту же работу. Во всех этих случаях произведение сохраняется.
Из этого сразу получается формула. Если y = k/x, то, умножив обе части на x, получаем xy = k. Значит коэффициент k равен произведению координат любой точки графика, и найти его можно по одной-единственной точке.
Для точки (2; 6) получаем k = 2 · 6 = 12, значит функция имеет вид y = 12/x. Проверить можно на другой точке графика: при x = 3 должно получиться y = 4, и произведение снова даёт 12.
График называется гиперболой и состоит из двух отдельных ветвей. При положительном k ветви лежат в первой и третьей четвертях, при отрицательном - во второй и четвёртой. Ветви приближаются к осям, но никогда их не касаются.
Ноль исключён из области определения: делить на ноль нельзя. Поэтому x = 0 в область определения не входит, и значение y = 0 функция не принимает - числитель k отличен от нуля.
Не путайте обратную пропорциональность с прямой. У прямой постоянно отношение y/x, у обратной - произведение xy. Проверить тип связи можно по двум точкам: если произведения совпали, зависимость обратная.
Правила и формулы
- Обратная пропорциональность
y = k/x, k ≠ 0 - Коэффициент равен произведению координат
k = x · y - Пример
через точку (2; 6): k = 12, значит y = 12/x - При k > 0 ветви в первой и третьей четвертях
- Ноль не входит в область определения
Порядок действий
- Возьмите координаты известной точки графика.
- Перемножьте их - получите коэффициент k.
- Запишите функцию в виде y = k/x.
- Проверьте по второй точке, если она дана.
- Определите расположение ветвей по знаку k.
Разбор примеров
- Для обратной пропорциональности k = x · y.
- k = 2 · 6 = 12.
- Функция: y = 12/x.
- k = −3 · 4 = −12.
- Коэффициент отрицательный - ветви во второй и четвёртой четвертях.
- Подставляем: y = 12 : 4.
- y = 3.
- Проверка: 4 · 3 = 12.
Где обычно ошибаются
- Делят координаты вместо умножения - это формула для прямой пропорциональности.
- Считают, что график пересекает оси координат.
- Включают ноль в область определения.
Пересечение двух прямых
Определения
- Точка пересечения
- Точка, принадлежащая обеим прямым одновременно. Её координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых.
- Параллельные прямые
- Прямые с одинаковым угловым коэффициентом и разными свободными членами. Общих точек не имеют.
Объяснение
Точка пересечения принадлежит обеим прямым, значит её координаты удовлетворяют обоим уравнениям сразу. Отсюда способ решения: составить систему из двух уравнений и решить её.
Если обе функции заданы в виде y = kx + b, проще всего приравнять правые части. Обе они равны y, значит равны и между собой. Из полученного уравнения находят x, а затем подставляют его в любую из функций и находят y.
Для прямых y = 2x + 1 и y = −x + 7 приравниваем: 2x + 1 = −x + 7. Собираем: 3x = 6, откуда x = 2. Подставляем в первую функцию: y = 2 · 2 + 1 = 5. Точка пересечения (2; 5).
Проверять обязательно по второй функции: −2 + 7 = 5 - сходится. Если бы значения не совпали, значит ошибка в вычислениях, потому что точка обязана лежать на обеих прямых.
Пересечение существует не всегда. Если угловые коэффициенты равны, прямые параллельны, и общих точек нет - при попытке решить уравнение переменные уничтожатся, останется неверное числовое равенство. Если при этом равны и свободные члены, прямые совпадают, и общих точек бесконечно много.
Геометрический смысл стоит держать в голове: решение системы двух линейных уравнений - это и есть координаты точки пересечения. Поэтому три случая для системы (одно решение, ни одного, бесконечно много) - это три взаимных положения прямых.
Правила и формулы
- Координаты точки удовлетворяют обоим уравнениям
- Приравнивают правые части
2x + 1 = −x + 7 - Найдя x, подставляют его в любую функцию
- Равные угловые коэффициенты - прямые параллельны
- Проверка - подстановка точки во вторую функцию
Порядок действий
- Сравните угловые коэффициенты: если они равны, пересечения нет.
- Приравняйте правые части уравнений.
- Решите полученное уравнение и найдите x.
- Подставьте x в любую из функций и найдите y.
- Проверьте точку по второй функции.
Разбор примеров
- Приравниваем: 2x + 1 = −x + 7.
- Собираем: 3x = 6, значит x = 2.
- Подставляем: y = 2 · 2 + 1 = 5.
- Проверка: −2 + 7 = 5.
- Приравниваем: x − 3 = 3x + 1.
- −2x = 4, значит x = −2.
- y = −2 − 3 = −5.
- Угловые коэффициенты равны.
- Прямые параллельны.
Где обычно ошибаются
- Находят x и забывают найти y.
- Не проверяют точку по второй функции и не замечают ошибки.
- Пытаются решать систему для параллельных прямых вместо вывода об отсутствии пересечения.
Пример с решением
- −15 = k · 7 + 6
- k · 7 = −21
- k = −21 : 7 = −3
- 49 = k · 7 − 7
- k · 7 = 56
- k = 56 : 7 = 8
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.