Уравнение прямой: как решать
Найти координату точки на прямой.
Определения
- Принадлежность точки прямой
- Точка лежит на прямой, если её координаты обращают уравнение прямой в верное равенство.
Объяснение
Задача звучит так: известно уравнение прямой и одна координата точки на ней, надо найти вторую. Решается подстановкой и решением уравнения с одной неизвестной.
Основание простое: если точка лежит на прямой, её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив известную координату, получаем уравнение относительно неизвестной.
Для прямой y = 2x + 1 и точки с абсциссой 3 подставляем: y = 2 · 3 + 1 = 7. Точка (3; 7).
Если задана ордината, а искать надо абсциссу, подстановка даёт уравнение относительно x. Для той же прямой и y = 9 получаем 9 = 2x + 1, откуда x = 4.
Для прямой в общем виде Ax + By + C = 0 порядок тот же: подставляем известную координату и решаем линейное уравнение. Никакой разницы, кроме формы записи, нет.
Особый случай - вертикальная прямая вида x = a. У неё абсцисса всех точек одинакова, а ордината любая, поэтому по заданной абсциссе ординату определить нельзя, а по ординате абсцисса известна сразу.
Проверять ответ надо подстановкой обеих координат в уравнение: равенство обязано выполниться. Это ловит и арифметическую ошибку, и путаницу координат местами.
Если требуется найти точку пересечения прямой с осью, подставляют ноль: с осью ординат при x = 0, с осью абсцисс при y = 0.
Правила и формулы
- Координаты точки на прямой удовлетворяют её уравнению
- Известную координату подставляют, неизвестную находят
- Пример
y = 2x + 1, при x = 3 получаем y = 7 - Обратно
при y = 9: 9 = 2x + 1, значит x = 4 - Проверка - подстановкой обеих координат
Порядок действий
- Выпишите уравнение прямой.
- Определите, какая координата известна.
- Подставьте её в уравнение.
- Решите полученное уравнение относительно второй координаты.
- Проверьте, подставив обе координаты.
Разбор примеров
- Подставляем x = 3.
- y = 2 · 3 + 1 = 7.
- Подставляем y = 9: 9 = 2x + 1.
- 2x = 8, значит x = 4.
- Проверка: 2 · 4 + 1 = 9.
- Подставляем: 6 + 3y − 12 = 0.
- 3y = 6, значит y = 2.
Где обычно ошибаются
- Подставляют известную координату не в ту переменную.
- При поиске абсциссы забывают решить уравнение и дают ординату.
- Не проверяют ответ подстановкой обеих координат.
Примеры с решением
- k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) = 4 : 2 = 2
- b = y₁ − k·x₁ = −6 − 2 · −1 = −4
- y = 2 · 4 − 4 = 4
- k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) = 2 : 1 = 2
- b = y₁ − k·x₁ = 1 − 2 · −2 = 5
- y = 2 · 2 + 5 = 9
- k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) = 5 : 5 = 1
- b = y₁ − k·x₁ = −3 − 1 · 4 = −7
- y = 1 · 12 − 7 = 5
- k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) = −20 : 5 = −4
- b = y₁ − k·x₁ = −19 − −4 · 3 = −7
- y = −4 · 11 − 7 = −51
- k = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) = 20 : 4 = 5
- b = y₁ − k·x₁ = 13 − 5 · 1 = 8
- y = 5 · 7 + 8 = 43
Подсказки, если не получается
- Уравнение прямой ищем в виде y = kx + b.
- Угловой коэффициент — отношение приращений координат.
- Свободный член найдите подстановкой любой из точек.
Другие темы раздела «Аналитическая геометрия»
- Расстояние между точками
- Расстояние от точки до прямой
- Угол между векторами
- Площадь по координатам вершин
Полная справка по разделу — на странице Аналитическая геометрия.