Расстояние между точками: как решать
Найти расстояние между точками.
Определения
- Расстояние между точками
- Длина отрезка, соединяющего две точки. На плоскости равна корню из суммы квадратов разностей координат.
Объяснение
Формула расстояния между точками - это теорема Пифагора, записанная в координатах. Соединив две точки отрезком и достроив прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям, получаем катеты, равные разностям координат.
Отсюда формула: расстояние равно корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат. Для точек (1; 2) и (4; 6) катеты равны 3 и 4, значит расстояние 5.
Порядок вычитания не важен: разность возводится в квадрат, и знак исчезает. Это удобно - не нужно следить, какую точку считать первой.
Формула переносится в пространство добавлением третьего слагаемого: под корнем оказывается сумма трёх квадратов. Логика та же, только теорема Пифагора применяется дважды.
Расстояние всегда неотрицательно и равно нулю только для совпадающих точек. Отрицательный ответ означает ошибку - скорее всего, забыли извлечь корень или потеряли квадрат.
Через эту же формулу находят длину вектора: длина вектора равна расстоянию между его началом и концом. Поэтому обе темы по сути одна.
Проверять полезно прикидкой по чертежу: набросайте точки на клетчатой бумаге и оцените расстояние на глаз. Ошибка в разы будет заметна сразу.
Середину отрезка находят полусуммой координат его концов. Эта формула часто идёт в паре с формулой расстояния - например, при поиске центра описанной окружности.
Правила и формулы
- Расстояние на плоскости
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) - В пространстве добавляется третье слагаемое
+ (z₂ − z₁)² - Порядок вычитания не важен
- Расстояние неотрицательно
- Длина вектора считается той же формулой
Порядок действий
- Выпишите координаты обеих точек.
- Найдите разность абсцисс и разность ординат.
- Возведите каждую разность в квадрат.
- Сложите квадраты.
- Извлеките корень и проверьте прикидкой.
Разбор примеров
- Разности: 4 − 1 = 3 и 6 − 2 = 4.
- Квадраты: 9 и 16.
- Сумма: 25.
- √25 = 5.
- Разности: 3 и 4.
- 9 + 16 = 25.
- Корень равен 5.
- Разности: 3 и 4.
- Сумма квадратов: 25.
- Корень 5.
Где обычно ошибаются
- Складывают разности без возведения в квадрат.
- Забывают извлечь корень и дают в ответе квадрат расстояния.
- Теряют знак при вычитании отрицательных координат.
Примеры с решением
- AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
- x₂ − x₁ = 7, y₂ − y₁ = −24
- AB = √(49 + 576) = √625 = 25
- AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
- x₂ − x₁ = −6, y₂ − y₁ = 8
- AB = √(36 + 64) = √100 = 10
- AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
- x₂ − x₁ = 7, y₂ − y₁ = −24
- AB = √(49 + 576) = √625 = 25
- AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
- x₂ − x₁ = 12, y₂ − y₁ = 16
- AB = √(144 + 256) = √400 = 20
- AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
- x₂ − x₁ = −8, y₂ − y₁ = −15
- AB = √(64 + 225) = √289 = 17
Подсказки, если не получается
- Постройте прямоугольный треугольник на разностях координат.
- Дальше работает теорема Пифагора.
- Извлеките корень из 625.
Другие темы раздела «Аналитическая геометрия»
Полная справка по разделу — на странице Аналитическая геометрия.