Аналитическая геометрия

Расстояние между точками

Определения

Расстояние между точками

Длина отрезка, соединяющего две точки. На плоскости равна корню из суммы квадратов разностей координат.

Объяснение

Формула расстояния между точками - это теорема Пифагора, записанная в координатах. Соединив две точки отрезком и достроив прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям, получаем катеты, равные разностям координат.

Отсюда формула: расстояние равно корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат. Для точек (1; 2) и (4; 6) катеты равны 3 и 4, значит расстояние 5.

Порядок вычитания не важен: разность возводится в квадрат, и знак исчезает. Это удобно - не нужно следить, какую точку считать первой.

Формула переносится в пространство добавлением третьего слагаемого: под корнем оказывается сумма трёх квадратов. Логика та же, только теорема Пифагора применяется дважды.

Расстояние всегда неотрицательно и равно нулю только для совпадающих точек. Отрицательный ответ означает ошибку - скорее всего, забыли извлечь корень или потеряли квадрат.

Через эту же формулу находят длину вектора: длина вектора равна расстоянию между его началом и концом. Поэтому обе темы по сути одна.

Проверять полезно прикидкой по чертежу: набросайте точки на клетчатой бумаге и оцените расстояние на глаз. Ошибка в разы будет заметна сразу.

Середину отрезка находят полусуммой координат его концов. Эта формула часто идёт в паре с формулой расстояния - например, при поиске центра описанной окружности.

Правила и формулы

• Расстояние на плоскостиd = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
• В пространстве добавляется третье слагаемое+ (z₂ − z₁)²
• Порядок вычитания не важен
• Расстояние неотрицательно
• Длина вектора считается той же формулой

Порядок действий

1. Выпишите координаты обеих точек.
2. Найдите разность абсцисс и разность ординат.
3. Возведите каждую разность в квадрат.
4. Сложите квадраты.
5. Извлеките корень и проверьте прикидкой.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Складывают разности без возведения в квадрат.
• Забывают извлечь корень и дают в ответе квадрат расстояния.
• Теряют знак при вычитании отрицательных координат.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Расстояние от точки до прямой

Определения

Общее уравнение прямой

Уравнение вида Ax + By + C = 0. Коэффициенты A и B задают направление нормали к прямой.

Расстояние от точки до прямой

Длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Наименьшее из расстояний до точек прямой.

Объяснение

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, а не любого отрезка до прямой. Строить перпендикуляр и считать его длину по точкам долго, поэтому пользуются готовой формулой.

Формула такая: подставляем координаты точки в левую часть общего уравнения прямой, берём модуль результата и делим на корень из суммы квадратов коэффициентов A и B.

Прямая обязана быть записана в общем виде Ax + By + C = 0, со всеми слагаемыми в левой части и нулём справа. Если уравнение дано как y = kx + b, его сначала приводят к общему виду.

Модуль в числителе обязателен: без него результат может выйти отрицательным, а расстояние отрицательным не бывает. Знак выражения без модуля показывает лишь, с какой стороны прямой лежит точка.

Разберём: расстояние от точки (1; 2) до прямой 3x + 4y − 5 = 0. Подставляем: 3 + 8 − 5 = 6. Знаменатель: √(9 + 16) = 5. Расстояние 6/5 = 1,2.

Нулевое расстояние означает, что точка лежит на прямой: подстановка её координат обращает уравнение в верное равенство. Это хороший способ проверить принадлежность точки прямой.

Проверять результат полезно чертежом: набросайте прямую и точку, оцените расстояние на глаз. Формула даёт число, а чертёж - уверенность в его порядке.

Расстояние между двумя параллельными прямыми находят той же формулой: берут любую точку на одной прямой и считают расстояние до другой.

Правила и формулы

• Общее уравнение прямойAx + By + C = 0
• Расстояние от точкиd = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
• Модуль в числителе обязателен
• Уравнение приводят к общему виду до подстановки
• Нулевое расстояние означает, что точка на прямой

Порядок действий

1. Приведите уравнение прямой к виду Ax + By + C = 0.
2. Подставьте координаты точки в левую часть.
3. Возьмите модуль полученного числа.
4. Посчитайте корень из суммы квадратов A и B.
5. Разделите модуль на этот корень.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Не приводят уравнение прямой к общему виду.
• Забывают модуль и получают отрицательное расстояние.
• В знаменателе берут сумму A и B вместо корня из суммы квадратов.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Угол между векторами

Определения

Угол между векторами

Угол между их направлениями, отсчитываемый от 0 до 180 градусов.

Объяснение

Косинус угла между векторами находят через скалярное произведение. Формула получается из геометрического определения скалярного произведения: оно равно произведению длин на косинус угла, откуда косинус равен произведению, делённому на длины.

Порядок работы: сначала считают скалярное произведение по координатам, потом длины обоих векторов, потом делят.

Знак ответа несёт смысл. Положительный косинус означает острый угол, отрицательный - тупой, нулевой - прямой. Поэтому даже без вычисления самого угла косинус уже говорит о взаимном расположении.

Разберём векторы (1; 0) и (1; 1). Скалярное произведение равно 1. Длины: 1 и √2. Косинус равен 1/√2, что даёт угол 45 градусов.

Результат обязан лежать между −1 и 1 - это косинус. Если получилось значение вне этого промежутка, значит ошибка в вычислениях, и почти всегда в длинах: забыли извлечь корень.

Для нулевого вектора угол не определён: у него нет направления, и деление на нулевую длину невозможно. Такой случай в задачах отдельно оговаривают.

Найдя косинус, сам угол получают через арккосинус. Но во многих задачах достаточно косинуса, и вычислять угол не требуется.

Если векторы заданы не координатами, а точками, сначала находят их координаты вычитанием. Пропуск этого шага даёт угол между радиус-векторами точек, а не между нужными векторами.

Правила и формулы

• Косинус углаcos φ = (a · b) / (|a| · |b|)
• Скалярное произведение через координатыa₁b₁ + a₂b₂
• Длина вектора|a| = √(a₁² + a₂²)
• Знак косинуса определяет тип угла
• Результат лежит между −1 и 1

Порядок действий

1. Посчитайте скалярное произведение векторов.
2. Найдите длину первого вектора.
3. Найдите длину второго вектора.
4. Разделите скалярное произведение на произведение длин.
5. Проверьте, что результат лежит между −1 и 1.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Делят на сумму длин вместо произведения.
• Забывают извлечь корень при вычислении длин.
• Получают косинус больше единицы и не замечают ошибки.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Площадь по координатам вершин

Определения

Формула площади через координаты

Площадь равна половине модуля определителя, составленного из координат векторов двух сторон.

Объяснение

Площадь треугольника по координатам вершин находят без построения высоты - через определитель. Это одно из главных применений определителя второго порядка.

Идея такая: два вектора, идущие из одной вершины, задают параллелограмм, площадь которого равна модулю определителя из их координат. Треугольник составляет половину этого параллелограмма.

Порядок работы: выбираем одну вершину за начало, строим из неё два вектора к другим вершинам, вычитая координаты. Составляем определитель из координат этих векторов и берём половину его модуля.

Разберём треугольник с вершинами (0; 0), (4; 0), (0; 3). Векторы из первой вершины: (4; 0) и (0; 3). Определитель: 4 · 3 − 0 · 0 = 12. Площадь: 12 : 2 = 6.

Модуль обязателен: определитель может выйти отрицательным в зависимости от порядка векторов, а площадь отрицательной не бывает. Знак определителя говорит лишь об ориентации обхода.

Нулевая площадь означает, что три точки лежат на одной прямой - треугольник вырожден. Это удобный способ проверить коллинеарность трёх точек: посчитать определитель и посмотреть, не ноль ли он.

Проверять полезно чертежом: набросайте точки и оцените площадь. Для прямоугольного треугольника ответ можно проверить и обычной формулой через катеты.

Правила и формулы

• Площадь треугольникаS = (1/2)|x₁y₂ − x₂y₁|
• Векторы строят из одной вершины вычитанием координат
• Модуль определителя даёт площадь параллелограмма
• Треугольник - половина параллелограмма
• Нулевая площадь означает, что точки на одной прямой

Порядок действий

1. Выберите одну вершину за начало отсчёта.
2. Постройте два вектора к остальным вершинам, вычитая координаты.
3. Составьте определитель из координат этих векторов.
4. Возьмите его модуль.
5. Разделите пополам.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Забывают разделить пополам и дают площадь параллелограмма.
• Берут координаты вершин вместо координат векторов.
• Не берут модуль и получают отрицательную площадь.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Уравнение прямой

Определения

Принадлежность точки прямой

Точка лежит на прямой, если её координаты обращают уравнение прямой в верное равенство.

Объяснение

Задача звучит так: известно уравнение прямой и одна координата точки на ней, надо найти вторую. Решается подстановкой и решением уравнения с одной неизвестной.

Основание простое: если точка лежит на прямой, её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив известную координату, получаем уравнение относительно неизвестной.

Для прямой y = 2x + 1 и точки с абсциссой 3 подставляем: y = 2 · 3 + 1 = 7. Точка (3; 7).

Если задана ордината, а искать надо абсциссу, подстановка даёт уравнение относительно x. Для той же прямой и y = 9 получаем 9 = 2x + 1, откуда x = 4.

Для прямой в общем виде Ax + By + C = 0 порядок тот же: подставляем известную координату и решаем линейное уравнение. Никакой разницы, кроме формы записи, нет.

Особый случай - вертикальная прямая вида x = a. У неё абсцисса всех точек одинакова, а ордината любая, поэтому по заданной абсциссе ординату определить нельзя, а по ординате абсцисса известна сразу.

Проверять ответ надо подстановкой обеих координат в уравнение: равенство обязано выполниться. Это ловит и арифметическую ошибку, и путаницу координат местами.

Если требуется найти точку пересечения прямой с осью, подставляют ноль: с осью ординат при x = 0, с осью абсцисс при y = 0.

Правила и формулы

• Координаты точки на прямой удовлетворяют её уравнению
• Известную координату подставляют, неизвестную находят
• Примерy = 2x + 1, при x = 3 получаем y = 7
• Обратнопри y = 9: 9 = 2x + 1, значит x = 4
• Проверка - подстановкой обеих координат

Порядок действий

1. Выпишите уравнение прямой.
2. Определите, какая координата известна.
3. Подставьте её в уравнение.
4. Решите полученное уравнение относительно второй координаты.
5. Проверьте, подставив обе координаты.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Подставляют известную координату не в ту переменную.
• При поиске абсциссы забывают решить уравнение и дают ординату.
• Не проверяют ответ подстановкой обеих координат.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней