Угол между векторами: как решать

Найти косинус угла между векторами.

Определения

Угол между векторами: Угол между их направлениями, отсчитываемый от 0 до 180 градусов.

Объяснение

Косинус угла между векторами находят через скалярное произведение. Формула получается из геометрического определения скалярного произведения: оно равно произведению длин на косинус угла, откуда косинус равен произведению, делённому на длины.

Порядок работы: сначала считают скалярное произведение по координатам, потом длины обоих векторов, потом делят.

Знак ответа несёт смысл. Положительный косинус означает острый угол, отрицательный - тупой, нулевой - прямой. Поэтому даже без вычисления самого угла косинус уже говорит о взаимном расположении.

Разберём векторы (1; 0) и (1; 1). Скалярное произведение равно 1. Длины: 1 и √2. Косинус равен 1/√2, что даёт угол 45 градусов.

Результат обязан лежать между −1 и 1 - это косинус. Если получилось значение вне этого промежутка, значит ошибка в вычислениях, и почти всегда в длинах: забыли извлечь корень.

Для нулевого вектора угол не определён: у него нет направления, и деление на нулевую длину невозможно. Такой случай в задачах отдельно оговаривают.

Найдя косинус, сам угол получают через арккосинус. Но во многих задачах достаточно косинуса, и вычислять угол не требуется.

Если векторы заданы не координатами, а точками, сначала находят их координаты вычитанием. Пропуск этого шага даёт угол между радиус-векторами точек, а не между нужными векторами.

Правила и формулы

Косинус углаcos φ = (a · b) / (|a| · |b|)
Скалярное произведение через координатыa₁b₁ + a₂b₂
Длина вектора|a| = √(a₁² + a₂²)
Знак косинуса определяет тип угла
Результат лежит между −1 и 1

Порядок действий

Посчитайте скалярное произведение векторов.
Найдите длину первого вектора.
Найдите длину второго вектора.
Разделите скалярное произведение на произведение длин.
Проверьте, что результат лежит между −1 и 1.

Разбор примеров

Косинус угла между (1; 0) и (1; 1)

Скалярное произведение: 1 · 1 + 0 · 1 = 1.
Длины: 1 и √2.
cos φ = 1/√2.

Ответ: 1/√2

Косинус угла между (3; 4) и (4; 3)

Произведение: 12 + 12 = 24.
Длины: 5 и 5.
24 : 25 = 0,96.

Ответ: 0,96

Косинус угла между (1; 0) и (0; 1)

Произведение: 0.
Косинус равен нулю.
Угол прямой.

Ответ: 0

Где обычно ошибаются

Делят на сумму длин вместо произведения.
Забывают извлечь корень при вычислении длин.
Получают косинус больше единицы и не замечают ошибки.

Примеры с решением

1. Найдите косинус угла между векторами a (−10; 0) и b (16; 12).

a · b = −10 · 16 + 0 · 12 = −160
|a| = 10, |b| = 20
cos φ = −160/200 = -4/5

Ответ: -4/5

2. Найдите косинус угла между векторами a (7; −24) и b (−9; 12).

a · b = 7 · −9 + −24 · 12 = −351
|a| = 25, |b| = 15
cos φ = −351/375 = -117/125

Ответ: -117/125

3. Найдите косинус угла между векторами a (3; 4) и b (−4; 3).

a · b = 3 · −4 + 4 · 3 = 0
|a| = 5, |b| = 5
cos φ = 0/25 = 0

Ответ: 0

4. Найдите косинус угла между векторами a (−12; 5) и b (−5; 0).

a · b = −12 · −5 + 5 · 0 = 60
|a| = 13, |b| = 5
cos φ = 60/65 = 12/13

Ответ: 12/13

5. Найдите косинус угла между векторами a (−9; −12) и b (4; 3).

a · b = −9 · 4 + −12 · 3 = −72
|a| = 15, |b| = 5
cos φ = −72/75 = -24/25

Ответ: -24/25

Подсказки, если не получается

Понадобятся скалярное произведение и длины обоих векторов.
cos φ = (a · b) : (|a| · |b|)
Не забудьте сократить дробь.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Аналитическая геометрия»

Полная справка по разделу — на странице Аналитическая геометрия.