Площадь по координатам вершин: как решать

Найти площадь треугольника по координатам вершин.

Определения

Формула площади через координаты: Площадь равна половине модуля определителя, составленного из координат векторов двух сторон.

Объяснение

Площадь треугольника по координатам вершин находят без построения высоты - через определитель. Это одно из главных применений определителя второго порядка.

Идея такая: два вектора, идущие из одной вершины, задают параллелограмм, площадь которого равна модулю определителя из их координат. Треугольник составляет половину этого параллелограмма.

Порядок работы: выбираем одну вершину за начало, строим из неё два вектора к другим вершинам, вычитая координаты. Составляем определитель из координат этих векторов и берём половину его модуля.

Разберём треугольник с вершинами (0; 0), (4; 0), (0; 3). Векторы из первой вершины: (4; 0) и (0; 3). Определитель: 4 · 3 − 0 · 0 = 12. Площадь: 12 : 2 = 6.

Модуль обязателен: определитель может выйти отрицательным в зависимости от порядка векторов, а площадь отрицательной не бывает. Знак определителя говорит лишь об ориентации обхода.

Нулевая площадь означает, что три точки лежат на одной прямой - треугольник вырожден. Это удобный способ проверить коллинеарность трёх точек: посчитать определитель и посмотреть, не ноль ли он.

Проверять полезно чертежом: набросайте точки и оцените площадь. Для прямоугольного треугольника ответ можно проверить и обычной формулой через катеты.

Правила и формулы

Площадь треугольникаS = (1/2)|x₁y₂ − x₂y₁|
Векторы строят из одной вершины вычитанием координат
Модуль определителя даёт площадь параллелограмма
Треугольник - половина параллелограмма
Нулевая площадь означает, что точки на одной прямой

Порядок действий

Выберите одну вершину за начало отсчёта.
Постройте два вектора к остальным вершинам, вычитая координаты.
Составьте определитель из координат этих векторов.
Возьмите его модуль.
Разделите пополам.

Разбор примеров

Треугольник (0;0), (4;0), (0;3)

Векторы из первой вершины: (4; 0) и (0; 3).
Определитель: 4 · 3 − 0 · 0 = 12.
Площадь: 12 : 2 = 6.
Проверка: катеты 4 и 3, площадь 6.

Ответ: 6

Треугольник (1;1), (4;1), (1;5)

Векторы: (3; 0) и (0; 4).
Определитель: 12.
Площадь: 6.

Ответ: 6

Треугольник (0;0), (2;2), (4;4)

Векторы: (2; 2) и (4; 4).
Определитель: 2 · 4 − 4 · 2 = 0.
Точки лежат на одной прямой.

Ответ: 0

Где обычно ошибаются

Забывают разделить пополам и дают площадь параллелограмма.
Берут координаты вершин вместо координат векторов.
Не берут модуль и получают отрицательную площадь.

Примеры с решением

1. Найдите площадь треугольника с вершинами A(−5; −3), B(−2; −6) и C(−9; 2).

AB (3; −3), AC (−4; 5)
Определитель: 3 · 5 − −4 · −3 = 3
S = |3| : 2 = 1,5

Ответ: 1.5

2. Найдите площадь треугольника с вершинами A(−1; 0), B(6; −3) и C(−4; 7).

AB (7; −3), AC (−3; 7)
Определитель: 7 · 7 − −3 · −3 = 40
S = |40| : 2 = 20

Ответ: 20

3. Найдите площадь треугольника с вершинами A(−2; 3), B(0; 3) и C(3; 9).

AB (2; 0), AC (5; 6)
Определитель: 2 · 6 − 5 · 0 = 12
S = |12| : 2 = 6

Ответ: 6

4. Найдите площадь треугольника с вершинами A(0; −3), B(8; −7) и C(−1; 0).

AB (8; −4), AC (−1; 3)
Определитель: 8 · 3 − −1 · −4 = 20
S = |20| : 2 = 10

Ответ: 10

5. Найдите площадь треугольника с вершинами A(2; −2), B(5; −2) и C(4; 3).

AB (3; 0), AC (2; 5)
Определитель: 3 · 5 − 2 · 0 = 15
S = |15| : 2 = 7,5

Ответ: 7.5

Подсказки, если не получается

Постройте два вектора из вершины A.
Составьте из их координат определитель 2·2.
Площадь равна половине его модуля.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Аналитическая геометрия»

Полная справка по разделу — на странице Аналитическая геометрия.