Расстояние от точки до прямой: как решать

Найти расстояние от точки до прямой.

Определения

Общее уравнение прямой: Уравнение вида Ax + By + C = 0. Коэффициенты A и B задают направление нормали к прямой.
Расстояние от точки до прямой: Длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Наименьшее из расстояний до точек прямой.

Объяснение

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, а не любого отрезка до прямой. Строить перпендикуляр и считать его длину по точкам долго, поэтому пользуются готовой формулой.

Формула такая: подставляем координаты точки в левую часть общего уравнения прямой, берём модуль результата и делим на корень из суммы квадратов коэффициентов A и B.

Прямая обязана быть записана в общем виде Ax + By + C = 0, со всеми слагаемыми в левой части и нулём справа. Если уравнение дано как y = kx + b, его сначала приводят к общему виду.

Модуль в числителе обязателен: без него результат может выйти отрицательным, а расстояние отрицательным не бывает. Знак выражения без модуля показывает лишь, с какой стороны прямой лежит точка.

Разберём: расстояние от точки (1; 2) до прямой 3x + 4y − 5 = 0. Подставляем: 3 + 8 − 5 = 6. Знаменатель: √(9 + 16) = 5. Расстояние 6/5 = 1,2.

Нулевое расстояние означает, что точка лежит на прямой: подстановка её координат обращает уравнение в верное равенство. Это хороший способ проверить принадлежность точки прямой.

Проверять результат полезно чертежом: набросайте прямую и точку, оцените расстояние на глаз. Формула даёт число, а чертёж - уверенность в его порядке.

Расстояние между двумя параллельными прямыми находят той же формулой: берут любую точку на одной прямой и считают расстояние до другой.

Правила и формулы

Общее уравнение прямойAx + By + C = 0
Расстояние от точкиd = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
Модуль в числителе обязателен
Уравнение приводят к общему виду до подстановки
Нулевое расстояние означает, что точка на прямой

Порядок действий

Приведите уравнение прямой к виду Ax + By + C = 0.
Подставьте координаты точки в левую часть.
Возьмите модуль полученного числа.
Посчитайте корень из суммы квадратов A и B.
Разделите модуль на этот корень.

Разбор примеров

Расстояние от (1; 2) до 3x + 4y − 5 = 0

Подставляем: 3 · 1 + 4 · 2 − 5 = 6.
Модуль: 6.
Знаменатель: √(9 + 16) = 5.
6 : 5 = 1,2.

Ответ: 1,2

Расстояние от (0; 0) до 3x + 4y − 10 = 0

Подставляем: −10.
Модуль: 10.
Знаменатель: 5.
10 : 5 = 2.

Ответ: 2

Лежит ли (2; 1) на прямой x + y − 3 = 0?

Подставляем: 2 + 1 − 3 = 0.
Расстояние нулевое.

Ответ: да, лежит

Где обычно ошибаются

Не приводят уравнение прямой к общему виду.
Забывают модуль и получают отрицательное расстояние.
В знаменателе берут сумму A и B вместо корня из суммы квадратов.

Примеры с решением

1. Найдите расстояние от точки M(8; 7) до прямой 8x + 15y + 1 = 0.

d = |A·x₀ + B·y₀ + C| : √(A² + B²)
|8 · 8 + 15 · 7 + 1| = 170
√(64 + 225) = 17, d = 170 : 17 = 10

Ответ: 10

2. Найдите расстояние от точки M(0; 5) до прямой 3x + 4y − 5 = 0.

d = |A·x₀ + B·y₀ + C| : √(A² + B²)
|3 · 0 + 4 · 5 − 5| = 15
√(9 + 16) = 5, d = 15 : 5 = 3

Ответ: 3

3. Найдите расстояние от точки M(3; 7) до прямой 3x + 4y + 7 = 0.

d = |A·x₀ + B·y₀ + C| : √(A² + B²)
|3 · 3 + 4 · 7 + 7| = 44
√(9 + 16) = 5, d = 44 : 5 = 8,8

Ответ: 8.8

4. Найдите расстояние от точки M(0; 8) до прямой 5x + 12y + 8 = 0.

d = |A·x₀ + B·y₀ + C| : √(A² + B²)
|5 · 0 + 12 · 8 + 8| = 104
√(25 + 144) = 13, d = 104 : 13 = 8

Ответ: 8

5. Найдите расстояние от точки M(2; 6) до прямой 5x + 12y − 8 = 0.

d = |A·x₀ + B·y₀ + C| : √(A² + B²)
|5 · 2 + 12 · 6 − 8| = 74
√(25 + 144) = 13, d = 74 : 13 = 5,69

Ответ: 5.69

Подсказки, если не получается

Подставьте координаты точки в левую часть уравнения прямой.
Результат возьмите по модулю.
Разделите на длину нормального вектора √(A² + B²) = 17.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Аналитическая геометрия»

Полная справка по разделу — на странице Аналитическая геометрия.