Matisto

Объём через векторы: как решать

Найти объём через смешанное произведение.

Определения

Смешанное произведение
Скалярное произведение первого вектора на векторное произведение двух других. Результат - число.
Параллелепипед на векторах
Тело, построенное на трёх векторах, выходящих из одной точки. Его объём равен модулю смешанного произведения.

Объяснение

Смешанное произведение трёх векторов даёт объём параллелепипеда, построенного на них. Это естественное продолжение цепочки: определитель второго порядка даёт площадь, третьего - объём.

Вычисляют смешанное произведение как определитель третьего порядка, строками которого служат координаты векторов. Никаких дополнительных действий не требуется.

Объём равен модулю смешанного произведения. Модуль нужен потому, что определитель может выйти отрицательным при другом порядке векторов, а объём отрицательным не бывает.

Объём тетраэдра на тех же векторах составляет одну шестую от объёма параллелепипеда. Множитель 1/6 - это 1/3 от пирамиды, помноженная на 1/2 от треугольного основания.

Разберём векторы (1; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 3). Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: 6. Объём параллелепипеда 6, объём тетраэдра 1.

Нулевое смешанное произведение означает, что три вектора лежат в одной плоскости - параллелепипед вырождается. Это основной признак компланарности векторов.

Проверять полезно на простом случае: для трёх единичных векторов вдоль осей объём обязан равняться единице, ведь это единичный куб.

Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов, но меняет знак при перестановке любых двух. На объём это не влияет - там стоит модуль.

Правила и формулы

Порядок действий

  1. Выпишите координаты трёх векторов строками.
  2. Составьте из них определитель третьего порядка.
  3. Вычислите его любым способом.
  4. Возьмите модуль - получите объём параллелепипеда.
  5. Для тетраэдра разделите на шесть.

Разбор примеров

Объём параллелепипеда на (1;0;0), (0;2;0), (0;0;3)
  1. Матрица диагональная.
  2. Определитель равен 1 · 2 · 3 = 6.
  3. Модуль: 6.
Ответ: 6
Объём тетраэдра на тех же векторах
  1. Объём параллелепипеда 6.
  2. Делим на шесть.
Ответ: 1
Векторы (1;1;0), (2;2;0), (0;0;1) - компланарны?
  1. Первые два вектора пропорциональны.
  2. Определитель равен нулю.
Ответ: да, компланарны

Где обычно ошибаются

Примеры с решением

1. Даны векторы a (5; 5; 3), b (2; 0; 2) и c (4; 2; −2). Найдите объём параллелепипеда, построенного на них.
  1. Смешанное произведение — определитель из координат: (a, b, c) = 52
  2. V(параллелепипеда) = |52| = 52
  3. V = 52
Ответ: 52
2. Даны векторы a (5; 0; −2), b (1; 4; 1) и c (5; 0; 0). Найдите объём параллелепипеда, построенного на них.
  1. Смешанное произведение — определитель из координат: (a, b, c) = 40
  2. V(параллелепипеда) = |40| = 40
  3. V = 40
Ответ: 40
3. Даны векторы a (4; 4; −3), b (5; −1; −3) и c (−3; 2; −1). Найдите объём параллелепипеда, построенного на них.
  1. Смешанное произведение — определитель из координат: (a, b, c) = 63
  2. V(параллелепипеда) = |63| = 63
  3. V = 63
Ответ: 63
4. Даны векторы a (−1; 5; 3), b (1; −2; −2) и c (−3; 2; −1). Найдите объём параллелепипеда, построенного на них.
  1. Смешанное произведение — определитель из координат: (a, b, c) = 17
  2. V(параллелепипеда) = |17| = 17
  3. V = 17
Ответ: 17
5. Даны векторы a (3; 5; 5), b (3; 5; −3) и c (−2; 4; −1). Найдите объём параллелепипеда, построенного на них.
  1. Смешанное произведение — определитель из координат: (a, b, c) = 176
  2. V(параллелепипеда) = |176| = 176
  3. V = 176
Ответ: 176

Подсказки, если не получается

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Векторная алгебра»

Полная справка по разделу — на странице Векторная алгебра.