Длина вектора: как решать

Найти длину вектора.

Определения

Длина вектора: Расстояние между началом и концом вектора. Равна корню из суммы квадратов его координат.
Единичный вектор: Вектор длины 1. Получается делением вектора на его длину.

Объяснение

Длина вектора вычисляется по теореме Пифагора: координаты играют роль катетов, а сам вектор - гипотенузы. На плоскости складывают два квадрата, в пространстве три.

Для вектора (3; 4) длина равна √(9 + 16) = 5. Для пространственного (2; 3; 6) получаем √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.

Длина всегда неотрицательна и равна нулю только у нулевого вектора. Отрицательный ответ означает потерянный корень или ошибку в знаке под ним, что невозможно - квадраты неотрицательны.

Знаки координат на длину не влияют: они возводятся в квадрат. Вектор (−3; 4) имеет ту же длину 5, что и (3; 4), - он лишь направлен в другую сторону.

Если вектор задан двумя точками, сначала находят его координаты вычитанием, и только потом длину. Пропуск этого шага - подстановка координат точки вместо координат вектора - частая ошибка.

Делением вектора на его длину получают единичный вектор того же направления. Это часто нужно, когда важно только направление, а величина роли не играет.

Проверять полезно прикидкой: длина не может быть меньше наибольшей из координат по модулю и не больше их суммы.

Складывая и вычитая векторы, длины складывать нельзя: длина суммы в общем случае меньше суммы длин. Равенство достигается только у сонаправленных векторов.

Правила и формулы

Длина на плоскости|a| = √(a₁² + a₂²)
Длина в пространстве|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Знаки координат не влияют на длину
Координаты вектора по точкам находят вычитанием
Единичный векторa / |a|

Порядок действий

Найдите координаты вектора, если он задан точками.
Возведите каждую координату в квадрат.
Сложите квадраты.
Извлеките корень из суммы.
Проверьте: результат не меньше наибольшей координаты по модулю.

Разбор примеров

Длина вектора (3; 4)

Квадраты: 9 и 16.
Сумма: 25.
Корень: 5.

Ответ: 5

Длина вектора (2; 3; 6)

Квадраты: 4, 9, 36.
Сумма: 49.
Корень: 7.

Ответ: 7

Длина вектора из (1; 1) в (4; 5)

Координаты вектора: (3; 4).
Квадраты: 9 и 16, сумма 25.
Корень: 5.

Ответ: 5

Где обычно ошибаются

Складывают координаты без возведения в квадрат.
Забывают извлечь корень.
Подставляют координаты точки вместо координат вектора.

Примеры с решением

1. Найдите длину вектора a (1; 4; −8).

|a| = √(x² + y² + z²)
x² + y² + z² = 1 + 16 + 64 = 81
|a| = √81 = 9

Ответ: 9

2. Найдите длину вектора a (4; 4; −7).

|a| = √(x² + y² + z²)
x² + y² + z² = 16 + 16 + 49 = 81
|a| = √81 = 9

Ответ: 9

3. Найдите длину вектора a (1; −2; −2).

|a| = √(x² + y² + z²)
x² + y² + z² = 1 + 4 + 4 = 9
|a| = √9 = 3

Ответ: 3

4. Найдите длину вектора a (2; −6; 9).

|a| = √(x² + y² + z²)
x² + y² + z² = 4 + 36 + 81 = 121
|a| = √121 = 11

Ответ: 11

5. Найдите длину вектора a (−4; −4; −7).

|a| = √(x² + y² + z²)
x² + y² + z² = 16 + 16 + 49 = 81
|a| = √81 = 9

Ответ: 9

Подсказки, если не получается

Это теорема Пифагора в пространстве.
Знаки координат не важны — они возводятся в квадрат.
Извлеките корень из 81.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Векторная алгебра»

Полная справка по разделу — на странице Векторная алгебра.