Matisto

Векторное произведение: как решать

Найти векторное произведение.

Определения

Векторное произведение
Вектор, перпендикулярный обоим исходным, длина которого равна площади параллелограмма на них. Определено только в пространстве.

Объяснение

Векторное произведение отличается от скалярного тем, что результат - вектор, а не число. Это принципиально: скалярное произведение измеряет, насколько векторы сонаправлены, векторное строит перпендикуляр к ним обоим.

Направление результата задаётся правилом правой руки, а длина равна площади параллелограмма, построенного на исходных векторах. Отсюда главное применение - вычисление площадей в пространстве.

Вычисляют векторное произведение через определитель третьего порядка, в первой строке которого стоят орты, во второй координаты первого вектора, в третьей - второго. Раскладывая по первой строке, получают три координаты результата.

Практически координаты результата считают так: первая равна a₂b₃ − a₃b₂, вторая a₃b₁ − a₁b₃, третья a₁b₂ − a₂b₁. Обратите внимание на порядок индексов - он циклический, и сбиться в нём легко.

Векторное произведение антикоммутативно: перестановка множителей меняет знак результата. Это отличает его и от обычного умножения, и от скалярного произведения.

Если векторы коллинеарны, векторное произведение равно нулевому вектору: параллелограмм вырождается, площадь нулевая. Это удобный признак коллинеарности.

Проверять результат стоит скалярным произведением: полученный вектор обязан быть перпендикулярен обоим исходным, то есть скалярные произведения с ними обязаны обратиться в ноль.

Правила и формулы

Порядок действий

  1. Выпишите координаты обоих векторов по порядку.
  2. Посчитайте первую координату: a₂b₃ − a₃b₂.
  3. Посчитайте вторую: a₃b₁ − a₁b₃.
  4. Посчитайте третью: a₁b₂ − a₂b₁.
  5. Проверьте перпендикулярность скалярным произведением с исходными.

Разбор примеров

Векторное произведение (1; 0; 0) и (0; 1; 0)
  1. Первая: 0 · 0 − 0 · 1 = 0.
  2. Вторая: 0 · 0 − 1 · 0 = 0.
  3. Третья: 1 · 1 − 0 · 0 = 1.
Ответ: (0; 0; 1)
Векторное произведение (2; 0; 0) и (0; 3; 0)
  1. Первые две координаты дают нули.
  2. Третья: 2 · 3 − 0 · 0 = 6.
Ответ: (0; 0; 6)
Векторное произведение (1; 2; 3) и (2; 4; 6)
  1. Векторы коллинеарны: второй вдвое больше первого.
  2. Все координаты обращаются в ноль.
Ответ: (0; 0; 0)

Где обычно ошибаются

Примеры с решением

1. Даны векторы a (1; −4; −3) и b (7; 4; −2). Найдите координату z их векторного произведения.
  1. x = a_y·b_z − a_z·b_y = −4 · −2 − −3 · 4 = 20
  2. y = a_z·b_x − a_x·b_z = −3 · 7 − 1 · −2 = −19
  3. z = a_x·b_y − a_y·b_x = 1 · 4 − −4 · 7 = 32
Ответ: 32
2. Даны векторы a (7; 7; 7) и b (3; 6; 4). Найдите координату y их векторного произведения.
  1. x = a_y·b_z − a_z·b_y = 7 · 4 − 7 · 6 = −14
  2. y = a_z·b_x − a_x·b_z = 7 · 3 − 7 · 4 = −7
  3. z = a_x·b_y − a_y·b_x = 7 · 6 − 7 · 3 = 21
Ответ: -7
3. Даны векторы a (3; −5; −2) и b (5; 0; 7). Найдите координату z их векторного произведения.
  1. x = a_y·b_z − a_z·b_y = −5 · 7 − −2 · 0 = −35
  2. y = a_z·b_x − a_x·b_z = −2 · 5 − 3 · 7 = −31
  3. z = a_x·b_y − a_y·b_x = 3 · 0 − −5 · 5 = 25
Ответ: 25
4. Даны векторы a (0; −1; 0) и b (−4; 1; 0). Найдите координату y их векторного произведения.
  1. x = a_y·b_z − a_z·b_y = −1 · 0 − 0 · 1 = 0
  2. y = a_z·b_x − a_x·b_z = 0 · −4 − 0 · 0 = 0
  3. z = a_x·b_y − a_y·b_x = 0 · 1 − −1 · −4 = −4
Ответ: 0
5. Даны векторы a (−5; −3; −3) и b (6; 6; 4). Найдите координату z их векторного произведения.
  1. x = a_y·b_z − a_z·b_y = −3 · 4 − −3 · 6 = 6
  2. y = a_z·b_x − a_x·b_z = −3 · 6 − −5 · 4 = 2
  3. z = a_x·b_y − a_y·b_x = −5 · 6 − −3 · 6 = −12
Ответ: -12

Подсказки, если не получается

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Векторная алгебра»

Полная справка по разделу — на странице Векторная алгебра.