Векторная алгебра

Векторное произведение

Определения

Векторное произведение

Вектор, перпендикулярный обоим исходным, длина которого равна площади параллелограмма на них. Определено только в пространстве.

Объяснение

Векторное произведение отличается от скалярного тем, что результат - вектор, а не число. Это принципиально: скалярное произведение измеряет, насколько векторы сонаправлены, векторное строит перпендикуляр к ним обоим.

Направление результата задаётся правилом правой руки, а длина равна площади параллелограмма, построенного на исходных векторах. Отсюда главное применение - вычисление площадей в пространстве.

Вычисляют векторное произведение через определитель третьего порядка, в первой строке которого стоят орты, во второй координаты первого вектора, в третьей - второго. Раскладывая по первой строке, получают три координаты результата.

Практически координаты результата считают так: первая равна a₂b₃ − a₃b₂, вторая a₃b₁ − a₁b₃, третья a₁b₂ − a₂b₁. Обратите внимание на порядок индексов - он циклический, и сбиться в нём легко.

Векторное произведение антикоммутативно: перестановка множителей меняет знак результата. Это отличает его и от обычного умножения, и от скалярного произведения.

Если векторы коллинеарны, векторное произведение равно нулевому вектору: параллелограмм вырождается, площадь нулевая. Это удобный признак коллинеарности.

Проверять результат стоит скалярным произведением: полученный вектор обязан быть перпендикулярен обоим исходным, то есть скалярные произведения с ними обязаны обратиться в ноль.

Правила и формулы

• Результат - вектор, перпендикулярный обоим
• Координаты(a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁)
• Длина равна площади параллелограмма
• Антикоммутативностьa × b = −(b × a)
• Коллинеарные векторы дают нулевой вектор

Порядок действий

1. Выпишите координаты обоих векторов по порядку.
2. Посчитайте первую координату: a₂b₃ − a₃b₂.
3. Посчитайте вторую: a₃b₁ − a₁b₃.
4. Посчитайте третью: a₁b₂ − a₂b₁.
5. Проверьте перпендикулярность скалярным произведением с исходными.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Считают результат числом, как у скалярного произведения.
• Сбиваются в циклическом порядке индексов.
• Забывают, что перестановка множителей меняет знак.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Площадь через векторы

Определения

Площадь параллелограмма

Равна длине векторного произведения векторов, на которых он построен.

Объяснение

Векторное произведение даёт готовый инструмент для вычисления площадей в пространстве, где обычные формулы через основание и высоту неудобны.

Длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях. Это прямо следует из определения: длина равна произведению длин на синус угла, а это и есть формула площади параллелограмма.

Площадь треугольника составляет половину площади параллелограмма, поэтому равна половине длины векторного произведения. Множитель одна вторая забывают чаще всего.

Порядок работы: строим два вектора из одной вершины, находим их векторное произведение, вычисляем его длину, при необходимости делим пополам.

Разберём треугольник с векторами сторон (3; 0; 0) и (0; 4; 0). Векторное произведение равно (0; 0; 12), его длина 12. Площадь треугольника 6.

Проверить можно обычной формулой, если треугольник прямоугольный: катеты 3 и 4 дают площадь 6 - сходится.

Нулевая длина векторного произведения означает коллинеарность векторов и вырожденную фигуру нулевой площади. Это признак того, что три точки лежат на одной прямой.

На плоскости векторное произведение не определено, но задачу сводят к пространству, дописав третью координату нулём. Тогда результат окажется направлен вдоль третьей оси, а его длина даст нужную площадь.

Правила и формулы

• Площадь параллелограммаS = |a × b|
• Площадь треугольникаS = (1/2)|a × b|
• Длина векторного произведения√(x² + y² + z²)
• Векторы строят из одной вершины
• Нулевая длина означает вырожденную фигуру

Порядок действий

1. Постройте два вектора из одной вершины фигуры.
2. Найдите их векторное произведение.
3. Вычислите длину полученного вектора.
4. Для параллелограмма это и есть площадь.
5. Для треугольника разделите результат пополам.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Забывают делить пополам при вычислении площади треугольника.
• Берут сумму координат вместо длины вектора.
• Строят векторы не из одной вершины.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Объём через векторы

Определения

Смешанное произведение

Скалярное произведение первого вектора на векторное произведение двух других. Результат - число.

Параллелепипед на векторах

Тело, построенное на трёх векторах, выходящих из одной точки. Его объём равен модулю смешанного произведения.

Объяснение

Смешанное произведение трёх векторов даёт объём параллелепипеда, построенного на них. Это естественное продолжение цепочки: определитель второго порядка даёт площадь, третьего - объём.

Вычисляют смешанное произведение как определитель третьего порядка, строками которого служат координаты векторов. Никаких дополнительных действий не требуется.

Объём равен модулю смешанного произведения. Модуль нужен потому, что определитель может выйти отрицательным при другом порядке векторов, а объём отрицательным не бывает.

Объём тетраэдра на тех же векторах составляет одну шестую от объёма параллелепипеда. Множитель 1/6 - это 1/3 от пирамиды, помноженная на 1/2 от треугольного основания.

Разберём векторы (1; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 3). Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: 6. Объём параллелепипеда 6, объём тетраэдра 1.

Нулевое смешанное произведение означает, что три вектора лежат в одной плоскости - параллелепипед вырождается. Это основной признак компланарности векторов.

Проверять полезно на простом случае: для трёх единичных векторов вдоль осей объём обязан равняться единице, ведь это единичный куб.

Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов, но меняет знак при перестановке любых двух. На объём это не влияет - там стоит модуль.

Правила и формулы

• Смешанное произведение - определитель из координат
• Объём параллелепипедаV = |определитель|
• Объём тетраэдраV = (1/6)|определитель|
• Нулевое значение означает компланарность
• Модуль обязателен - объём неотрицателен

Порядок действий

1. Выпишите координаты трёх векторов строками.
2. Составьте из них определитель третьего порядка.
3. Вычислите его любым способом.
4. Возьмите модуль - получите объём параллелепипеда.
5. Для тетраэдра разделите на шесть.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Забывают модуль и получают отрицательный объём.
• Для тетраэдра делят на три вместо шести.
• Записывают координаты векторов столбцами вперемешку со строками.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Длина вектора

Определения

Длина вектора

Расстояние между началом и концом вектора. Равна корню из суммы квадратов его координат.

Единичный вектор

Вектор длины 1. Получается делением вектора на его длину.

Объяснение

Длина вектора вычисляется по теореме Пифагора: координаты играют роль катетов, а сам вектор - гипотенузы. На плоскости складывают два квадрата, в пространстве три.

Для вектора (3; 4) длина равна √(9 + 16) = 5. Для пространственного (2; 3; 6) получаем √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.

Длина всегда неотрицательна и равна нулю только у нулевого вектора. Отрицательный ответ означает потерянный корень или ошибку в знаке под ним, что невозможно - квадраты неотрицательны.

Знаки координат на длину не влияют: они возводятся в квадрат. Вектор (−3; 4) имеет ту же длину 5, что и (3; 4), - он лишь направлен в другую сторону.

Если вектор задан двумя точками, сначала находят его координаты вычитанием, и только потом длину. Пропуск этого шага - подстановка координат точки вместо координат вектора - частая ошибка.

Делением вектора на его длину получают единичный вектор того же направления. Это часто нужно, когда важно только направление, а величина роли не играет.

Проверять полезно прикидкой: длина не может быть меньше наибольшей из координат по модулю и не больше их суммы.

Складывая и вычитая векторы, длины складывать нельзя: длина суммы в общем случае меньше суммы длин. Равенство достигается только у сонаправленных векторов.

Правила и формулы

• Длина на плоскости|a| = √(a₁² + a₂²)
• Длина в пространстве|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
• Знаки координат не влияют на длину
• Координаты вектора по точкам находят вычитанием
• Единичный векторa / |a|

Порядок действий

1. Найдите координаты вектора, если он задан точками.
2. Возведите каждую координату в квадрат.
3. Сложите квадраты.
4. Извлеките корень из суммы.
5. Проверьте: результат не меньше наибольшей координаты по модулю.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Складывают координаты без возведения в квадрат.
• Забывают извлечь корень.
• Подставляют координаты точки вместо координат вектора.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней