Площадь через векторы: как решать

Найти площадь через векторное произведение.

Определения

Площадь параллелограмма: Равна длине векторного произведения векторов, на которых он построен.

Объяснение

Векторное произведение даёт готовый инструмент для вычисления площадей в пространстве, где обычные формулы через основание и высоту неудобны.

Длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях. Это прямо следует из определения: длина равна произведению длин на синус угла, а это и есть формула площади параллелограмма.

Площадь треугольника составляет половину площади параллелограмма, поэтому равна половине длины векторного произведения. Множитель одна вторая забывают чаще всего.

Порядок работы: строим два вектора из одной вершины, находим их векторное произведение, вычисляем его длину, при необходимости делим пополам.

Разберём треугольник с векторами сторон (3; 0; 0) и (0; 4; 0). Векторное произведение равно (0; 0; 12), его длина 12. Площадь треугольника 6.

Проверить можно обычной формулой, если треугольник прямоугольный: катеты 3 и 4 дают площадь 6 - сходится.

Нулевая длина векторного произведения означает коллинеарность векторов и вырожденную фигуру нулевой площади. Это признак того, что три точки лежат на одной прямой.

На плоскости векторное произведение не определено, но задачу сводят к пространству, дописав третью координату нулём. Тогда результат окажется направлен вдоль третьей оси, а его длина даст нужную площадь.

Правила и формулы

Площадь параллелограммаS = |a × b|
Площадь треугольникаS = (1/2)|a × b|
Длина векторного произведения√(x² + y² + z²)
Векторы строят из одной вершины
Нулевая длина означает вырожденную фигуру

Порядок действий

Постройте два вектора из одной вершины фигуры.
Найдите их векторное произведение.
Вычислите длину полученного вектора.
Для параллелограмма это и есть площадь.
Для треугольника разделите результат пополам.

Разбор примеров

Площадь треугольника на векторах (3; 0; 0) и (0; 4; 0)

Векторное произведение: (0; 0; 12).
Его длина: 12.
Площадь треугольника: 12 : 2 = 6.

Ответ: 6

Площадь параллелограмма на тех же векторах

Длина векторного произведения равна 12.
Делить пополам не нужно.

Ответ: 12

Площадь треугольника на векторах (1; 0; 0) и (0; 1; 0)

Векторное произведение: (0; 0; 1).
Длина: 1.
Площадь: 0,5.

Ответ: 0,5

Где обычно ошибаются

Забывают делить пополам при вычислении площади треугольника.
Берут сумму координат вместо длины вектора.
Строят векторы не из одной вершины.

Примеры с решением

1. Даны векторы a (1; 6; 0) и b (9; −1; 0). Найдите площадь треугольника, построенного на них.

S(параллелограмма) = |[a, b]|
|[a, b]| = 55
S(треугольника) = 55 : 2 = 27,5

Ответ: 27.5

2. Даны векторы a (0; −2; −5) и b (0; 5; 8). Найдите площадь треугольника, построенного на них.

S(параллелограмма) = |[a, b]|
|[a, b]| = 9
S(треугольника) = 9 : 2 = 4,5

Ответ: 4.5

3. Даны векторы a (7; 0; 0) и b (−6; 2; 0). Найдите площадь треугольника, построенного на них.

S(параллелограмма) = |[a, b]|
|[a, b]| = 14
S(треугольника) = 14 : 2 = 7

Ответ: 7

4. Даны векторы a (−2; 0; 3) и b (4; 0; −4). Найдите площадь треугольника, построенного на них.

S(параллелограмма) = |[a, b]|
|[a, b]| = 4
S(треугольника) = 4 : 2 = 2

Ответ: 2

5. Даны векторы a (−5; 0; 7) и b (−2; 4; −3). Найдите площадь треугольника, построенного на них.

S(параллелограмма) = |[a, b]|
|[a, b]| = 45
S(треугольника) = 45 : 2 = 22,5

Ответ: 22.5

Подсказки, если не получается

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения.
Здесь |[a, b]| = 55.
Треугольник — половина параллелограмма.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Векторная алгебра»

Полная справка по разделу — на странице Векторная алгебра.