Табличные значения 30°, 45°, 60°: как решать
Вспомнить табличные значения тригонометрических функций.
Определения
- Табличные углы
- Углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, значения тригонометрических функций которых выражаются точно и подлежат запоминанию.
Объяснение
Табличные значения нужны знать наизусть - они встречаются в задачах постоянно, и подглядывание в таблицу каждый раз тормозит решение. Но заучивать пятнадцать чисел не обязательно: есть способ восстановить всю таблицу.
Приём такой: для синуса углов 0, 30, 45, 60, 90 запишите подряд корни из 0, 1, 2, 3, 4, делённые на два. Получится 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Это и есть строка синусов, и она восстанавливается за несколько секунд.
Косинус получается из синуса переворотом строки: значения те же, но в обратном порядке. Причина в том, что косинус угла равен синусу дополнительного до 90 градусов: cos 30° = sin 60°.
Тангенс находят делением синуса на косинус. Для 45 градусов синус и косинус равны, значит тангенс равен единице. Для 90 градусов косинус равен нулю, поэтому тангенс не существует - деление на ноль невозможно.
Значения 30 и 60 градусов не случайны: они получаются из равностороннего треугольника, разрезанного пополам. В таком треугольнике катет против угла 30 равен половине гипотенузы, откуда sin 30° = 1/2. Значение для 45 градусов даёт равнобедренный прямоугольный треугольник.
Полезно помнить ориентир: синус возрастает от 0 до 1 при росте угла от 0 до 90, а косинус убывает от 1 до 0. Если полученное значение противоречит этому, значит строки перепутаны.
Правила и формулы
- Синусы
sin 0° = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1 - Косинусы - та же строка в обратном порядке
cos 0° = 1, cos 30° = √3/2, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0 - Тангенс
tg 30° = √3/3, tg 45° = 1, tg 60° = √3 - Тангенс 90° не существует
- Правило восстановления
корни из 0, 1, 2, 3, 4, делённые на два
Порядок действий
- Запишите подряд корни из 0, 1, 2, 3, 4.
- Разделите каждый на два - получится строка синусов.
- Переверните строку - получится строка косинусов.
- Для тангенса разделите синус на косинус.
- Проверьте: синус растёт, косинус убывает с ростом угла.
Разбор примеров
- Второе значение в строке синусов.
- Это √1/2 = 1/2.
- Косинус - перевёрнутая строка синусов.
- cos 60° = sin 30° = 1/2.
- sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2.
- Делим одно на другое.
- Получается 1.
Где обычно ошибаются
- Путают строки синусов и косинусов.
- Считают, что тангенс 90° равен нулю или бесконечности как числу.
- Записывают sin 60° как 1/2 вместо √3/2.
Примеры с решением
- Косинус нулевого угла равен единице.
- cos 0° = 1
- sin 0° = 0, sin 90° = 1
- 0 + 1 = 1
- tg 45° = 1, cos 90° = 0
- 1 + 0 = 1
- tg 45° = 1, ctg 45° = 1
- 1 · 1 = 1
- sin 0° = 0, sin 30° = 1/2
- 0 + 1/2 = 1/2
Подсказки, если не получается
- Это одно из табличных значений для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
- Косинус нулевого угла равен единице.
- Запомни таблицу — она нужна постоянно.
Другие темы раздела «Тригонометрия»
Полная справка по разделу — на странице Тригонометрия.