Синус, косинус, тангенс по сторонам: как решать

Найти синус, косинус или тангенс острого угла.

Определения

Синус острого угла: Отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла: Отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла: Отношение противолежащего катета к прилежащему.

Объяснение

Тригонометрические отношения появились из наблюдения: у подобных прямоугольных треугольников отношения сторон одинаковы. Значит, эти отношения зависят только от угла, а не от размера треугольника, и их можно свести в таблицу.

Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет - тот, что лежит напротив угла, не образует его. Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе, где прилежащий катет образует угол вместе с гипотенузой.

Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему, то есть отношение двух катетов без участия гипотенузы. Отсюда полезная связь: тангенс равен синусу, делённому на косинус, потому что гипотенуза в отношении сокращается.

Определить, какой катет противолежащий, а какой прилежащий, надо до подстановки чисел. Это делается по чертежу и относительно конкретного угла: один и тот же катет для одного острого угла противолежащий, а для другого прилежащий.

Синус и косинус острого угла всегда меньше единицы, потому что катет всегда короче гипотенузы. Если в ответе получилось значение больше единицы, значит катет и гипотенуза перепутаны местами. Тангенс же может быть любым положительным числом.

В треугольнике 3-4-5 с углом против катета 3: синус равен 3/5, косинус 4/5, тангенс 3/4. Проверить можно основным тождеством: сумма квадратов синуса и косинуса даёт 9/25 + 16/25 = 1.

Правила и формулы

Синусsin α = противолежащий катет / гипотенуза
Косинусcos α = прилежащий катет / гипотенуза
Тангенсtg α = противолежащий / прилежащий
Связьtg α = sin α / cos α
Синус и косинус острого угла меньше единицы

Порядок действий

Определите, относительно какого угла работаете.
Найдите на чертеже противолежащий и прилежащий катеты.
Выпишите гипотенузу - она против прямого угла.
Составьте нужное отношение.
Проверьте: синус и косинус обязаны быть меньше единицы.

Разбор примеров

Катеты 3 и 4, гипотенуза 5. Найти синус угла против катета 3.

Противолежащий катет равен 3.
Гипотенуза равна 5.
sin = 3/5.

Ответ: 3/5

Тот же треугольник: найти косинус того же угла.

Прилежащий катет равен 4.
cos = 4/5.
Проверка: (3/5)² + (4/5)² = 1.

Ответ: 4/5

Тот же треугольник: найти тангенс.

Отношение катетов: 3 к 4.
tg = 3/4.

Ответ: 3/4

Где обычно ошибаются

Путают противолежащий катет с прилежащим.
В тангенсе используют гипотенузу.
Получают синус больше единицы и не замечают ошибки.

Примеры с решением

1. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу A, равен 4, второй катет равен 3, гипотенуза равна 5. Найдите sin A.

Катеты 4 и 3, гипотенуза 5.
sin A = 4/5

Ответ: 4/5

2. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу A, равен 15, второй катет равен 8, гипотенуза равна 17. Найдите tg A.

Катеты 15 и 8, гипотенуза 17.
tg A = 15/8

Ответ: 15/8

3. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу A, равен 11, второй катет равен 60, гипотенуза равна 61. Найдите cos A.

Катеты 11 и 60, гипотенуза 61.
cos A = 60/61

Ответ: 60/61

4. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу A, равен 3, второй катет равен 4, гипотенуза равна 5. Найдите cos A.

Катеты 3 и 4, гипотенуза 5.
cos A = 4/5

Ответ: 4/5

5. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу A, равен 3, второй катет равен 4, гипотенуза равна 5. Найдите tg A.

Катеты 3 и 4, гипотенуза 5.
tg A = 3/4

Ответ: 3/4

Подсказки, если не получается

Вспомни определения синуса, косинуса и тангенса острого угла.
Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Составь отношение и сократи дробь.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Тригонометрия»

Полная справка по разделу — на странице Тригонометрия.