Тригонометрия
Отношения сторон прямоугольного треугольника зависят только от острого угла.
Содержание
- Синус, косинус, тангенс по сторонамНайти синус, косинус или тангенс острого угла.
- Табличные значения 30°, 45°, 60°Вспомнить табличные значения тригонометрических функций.
- Основное тождествоНайти второе значение по основному тригонометрическому тождеству.
- Сторона по углу 30°Найти сторону прямоугольного треугольника с углом 30 или 60 градусов.
Синус, косинус, тангенс по сторонам
Определения
- Синус острого угла
- Отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинус острого угла
- Отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенс острого угла
- Отношение противолежащего катета к прилежащему.
Объяснение
Тригонометрические отношения появились из наблюдения: у подобных прямоугольных треугольников отношения сторон одинаковы. Значит, эти отношения зависят только от угла, а не от размера треугольника, и их можно свести в таблицу.
Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет - тот, что лежит напротив угла, не образует его. Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе, где прилежащий катет образует угол вместе с гипотенузой.
Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему, то есть отношение двух катетов без участия гипотенузы. Отсюда полезная связь: тангенс равен синусу, делённому на косинус, потому что гипотенуза в отношении сокращается.
Определить, какой катет противолежащий, а какой прилежащий, надо до подстановки чисел. Это делается по чертежу и относительно конкретного угла: один и тот же катет для одного острого угла противолежащий, а для другого прилежащий.
Синус и косинус острого угла всегда меньше единицы, потому что катет всегда короче гипотенузы. Если в ответе получилось значение больше единицы, значит катет и гипотенуза перепутаны местами. Тангенс же может быть любым положительным числом.
В треугольнике 3-4-5 с углом против катета 3: синус равен 3/5, косинус 4/5, тангенс 3/4. Проверить можно основным тождеством: сумма квадратов синуса и косинуса даёт 9/25 + 16/25 = 1.
Правила и формулы
- Синус
sin α = противолежащий катет / гипотенуза - Косинус
cos α = прилежащий катет / гипотенуза - Тангенс
tg α = противолежащий / прилежащий - Связь
tg α = sin α / cos α - Синус и косинус острого угла меньше единицы
Порядок действий
- Определите, относительно какого угла работаете.
- Найдите на чертеже противолежащий и прилежащий катеты.
- Выпишите гипотенузу - она против прямого угла.
- Составьте нужное отношение.
- Проверьте: синус и косинус обязаны быть меньше единицы.
Разбор примеров
- Противолежащий катет равен 3.
- Гипотенуза равна 5.
- sin = 3/5.
- Прилежащий катет равен 4.
- cos = 4/5.
- Проверка: (3/5)² + (4/5)² = 1.
- Отношение катетов: 3 к 4.
- tg = 3/4.
Где обычно ошибаются
- Путают противолежащий катет с прилежащим.
- В тангенсе используют гипотенузу.
- Получают синус больше единицы и не замечают ошибки.
Табличные значения 30°, 45°, 60°
Определения
- Табличные углы
- Углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, значения тригонометрических функций которых выражаются точно и подлежат запоминанию.
Объяснение
Табличные значения нужны знать наизусть - они встречаются в задачах постоянно, и подглядывание в таблицу каждый раз тормозит решение. Но заучивать пятнадцать чисел не обязательно: есть способ восстановить всю таблицу.
Приём такой: для синуса углов 0, 30, 45, 60, 90 запишите подряд корни из 0, 1, 2, 3, 4, делённые на два. Получится 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Это и есть строка синусов, и она восстанавливается за несколько секунд.
Косинус получается из синуса переворотом строки: значения те же, но в обратном порядке. Причина в том, что косинус угла равен синусу дополнительного до 90 градусов: cos 30° = sin 60°.
Тангенс находят делением синуса на косинус. Для 45 градусов синус и косинус равны, значит тангенс равен единице. Для 90 градусов косинус равен нулю, поэтому тангенс не существует - деление на ноль невозможно.
Значения 30 и 60 градусов не случайны: они получаются из равностороннего треугольника, разрезанного пополам. В таком треугольнике катет против угла 30 равен половине гипотенузы, откуда sin 30° = 1/2. Значение для 45 градусов даёт равнобедренный прямоугольный треугольник.
Полезно помнить ориентир: синус возрастает от 0 до 1 при росте угла от 0 до 90, а косинус убывает от 1 до 0. Если полученное значение противоречит этому, значит строки перепутаны.
Правила и формулы
- Синусы
sin 0° = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1 - Косинусы - та же строка в обратном порядке
cos 0° = 1, cos 30° = √3/2, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0 - Тангенс
tg 30° = √3/3, tg 45° = 1, tg 60° = √3 - Тангенс 90° не существует
- Правило восстановления
корни из 0, 1, 2, 3, 4, делённые на два
Порядок действий
- Запишите подряд корни из 0, 1, 2, 3, 4.
- Разделите каждый на два - получится строка синусов.
- Переверните строку - получится строка косинусов.
- Для тангенса разделите синус на косинус.
- Проверьте: синус растёт, косинус убывает с ростом угла.
Разбор примеров
- Второе значение в строке синусов.
- Это √1/2 = 1/2.
- Косинус - перевёрнутая строка синусов.
- cos 60° = sin 30° = 1/2.
- sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2.
- Делим одно на другое.
- Получается 1.
Где обычно ошибаются
- Путают строки синусов и косинусов.
- Считают, что тангенс 90° равен нулю или бесконечности как числу.
- Записывают sin 60° как 1/2 вместо √3/2.
Основное тождество
Определения
- Основное тригонометрическое тождество
- Равенство sin²α + cos²α = 1, верное для любого угла.
Объяснение
Основное тождество связывает синус и косинус одного угла, позволяя найти одно значение по другому. Это самое используемое тождество тригонометрии.
Откуда оно берётся: возьмём прямоугольный треугольник с гипотенузой 1. Тогда катеты равны синусу и косинусу угла, и теорема Пифагора даёт sin²α + cos²α = 1. То есть тождество - это теорема Пифагора, записанная через тригонометрические функции.
Чтобы найти косинус по известному синусу, выражают: cos²α = 1 − sin²α, откуда косинус равен корню из этой разности. Для синуса 3/5 получаем cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, значит косинус равен 4/5.
Знак корня определяют по условию, а не наугад. Если речь об остром угле, и синус, и косинус положительны. Если угол лежит в другой четверти, знак может быть отрицательным, и в условии обычно указывают, где находится угол.
Из основного тождества выводятся и другие соотношения. Разделив обе части на квадрат косинуса, получаем 1 + tg²α = 1/cos²α - формула, связывающая тангенс с косинусом. Её тоже не нужно запоминать отдельно, достаточно помнить, откуда она получается.
Проверять ответ надо подстановкой в само тождество: сумма квадратов найденных синуса и косинуса обязана дать ровно единицу. Если получилось другое число, ошибка в вычислениях.
Правила и формулы
- Основное тождество
sin²α + cos²α = 1 - Выражение косинуса
cos α = ±√(1 − sin²α) - Выражение синуса
sin α = ±√(1 − cos²α) - Для острого угла оба значения положительны
- Следствие для тангенса
1 + tg²α = 1/cos²α
Порядок действий
- Возведите известное значение в квадрат.
- Вычтите его из единицы.
- Извлеките квадратный корень.
- Определите знак по условию - в какой четверти лежит угол.
- Проверьте: сумма квадратов обязана дать единицу.
Разбор примеров
- sin²α = 9/25.
- cos²α = 1 − 9/25 = 16/25.
- cos α = 4/5, знак плюс - угол острый.
- cos²α = 0,36.
- sin²α = 1 − 0,36 = 0,64.
- sin α = 0,8.
- sin²α = 144/169.
- cos²α = 25/169.
- cos α = 5/13.
Где обычно ошибаются
- Вычитают само значение вместо его квадрата.
- Забывают извлечь корень и дают в ответе квадрат косинуса.
- Ставят знак наугад, не глядя на условие.
Сторона по углу 30°
Определения
- Свойство катета против угла 30°
- В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Объяснение
Треугольники с углами 30 и 60 градусов встречаются в задачах особенно часто, поэтому для них есть готовые соотношения, позволяющие обойтись без тригонометрических функций.
Главное свойство: катет против угла 30 градусов равен половине гипотенузы. Доказывается достройкой до равностороннего треугольника: приложив к нашему треугольнику его зеркальное отражение, получаем равносторонний треугольник, в котором наш катет оказывается половиной стороны.
Отсюда сразу и обратное: гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против угла 30 градусов. Для катета 5 гипотенуза равна 10.
Второй катет находят по теореме Пифагора либо по готовой формуле: он равен катету против угла 30, умноженному на √3. В треугольнике с гипотенузой 10 катеты равны 5 и 5√3.
Соотношение сторон в таком треугольнике всегда одно и то же: 1 : √3 : 2. Запомнив его, можно восстановить любую сторону по любой другой, зная, какая из них какая. Это соотношение встречается и в правильном шестиугольнике, и в равностороннем треугольнике с проведённой высотой.
Определять, против какого угла лежит сторона, надо до применения свойства. Половина гипотенузы - это именно катет против угла 30, а не против угла 60. Перепутав, вы получите ответ, отличающийся в √3 раз, а это примерно 1,73 - разница заметная, но не такая, чтобы броситься в глаза.
Правила и формулы
- Катет против угла 30°
a = c / 2 - Гипотенуза
c = 2a, где a - катет против 30° - Второй катет
b = a · √3 - Соотношение сторон
1 : √3 : 2 - Свойство относится к катету против 30°, а не против 60°
Порядок действий
- Найдите на чертеже угол 30 градусов.
- Определите катет, лежащий против него.
- Свяжите его с гипотенузой: катет вдвое меньше.
- Второй катет найдите умножением на √3 или по теореме Пифагора.
- Проверьте: гипотенуза обязана быть самой длинной стороной.
Разбор примеров
- Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
- 10 : 2 = 5.
- Гипотенуза вдвое больше.
- 5 · 2 = 10.
- Первый катет равен 5.
- Второй равен 5 · √3.
- Проверка: 25 + 75 = 100.
Где обычно ошибаются
- Берут половину гипотенузы для катета против угла 60°.
- Умножают на √3 не тот катет.
- Получают катет длиннее гипотенузы и не проверяют это.
Пример с решением
- Катеты 4 и 3, гипотенуза 5.
- sin A = 4/5
- Катеты 15 и 8, гипотенуза 17.
- tg A = 15/8
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.