Сторона по углу 30°: как решать

Найти сторону прямоугольного треугольника с углом 30 или 60 градусов.

Определения

Свойство катета против угла 30°: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Объяснение

Треугольники с углами 30 и 60 градусов встречаются в задачах особенно часто, поэтому для них есть готовые соотношения, позволяющие обойтись без тригонометрических функций.

Главное свойство: катет против угла 30 градусов равен половине гипотенузы. Доказывается достройкой до равностороннего треугольника: приложив к нашему треугольнику его зеркальное отражение, получаем равносторонний треугольник, в котором наш катет оказывается половиной стороны.

Отсюда сразу и обратное: гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против угла 30 градусов. Для катета 5 гипотенуза равна 10.

Второй катет находят по теореме Пифагора либо по готовой формуле: он равен катету против угла 30, умноженному на √3. В треугольнике с гипотенузой 10 катеты равны 5 и 5√3.

Соотношение сторон в таком треугольнике всегда одно и то же: 1 : √3 : 2. Запомнив его, можно восстановить любую сторону по любой другой, зная, какая из них какая. Это соотношение встречается и в правильном шестиугольнике, и в равностороннем треугольнике с проведённой высотой.

Определять, против какого угла лежит сторона, надо до применения свойства. Половина гипотенузы - это именно катет против угла 30, а не против угла 60. Перепутав, вы получите ответ, отличающийся в √3 раз, а это примерно 1,73 - разница заметная, но не такая, чтобы броситься в глаза.

Правила и формулы

Катет против угла 30°a = c / 2
Гипотенузаc = 2a, где a - катет против 30°
Второй катетb = a · √3
Соотношение сторон1 : √3 : 2
Свойство относится к катету против 30°, а не против 60°

Порядок действий

Найдите на чертеже угол 30 градусов.
Определите катет, лежащий против него.
Свяжите его с гипотенузой: катет вдвое меньше.
Второй катет найдите умножением на √3 или по теореме Пифагора.
Проверьте: гипотенуза обязана быть самой длинной стороной.

Разбор примеров

Гипотенуза 10, угол 30°. Найти катет против него.

Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
10 : 2 = 5.

Ответ: 5

Катет против угла 30° равен 5. Найти гипотенузу.

Гипотенуза вдвое больше.
5 · 2 = 10.

Ответ: 10

Гипотенуза 10, угол 30°. Найти второй катет.

Первый катет равен 5.
Второй равен 5 · √3.
Проверка: 25 + 75 = 100.

Ответ: 5√3

Где обычно ошибаются

Берут половину гипотенузы для катета против угла 60°.
Умножают на √3 не тот катет.
Получают катет длиннее гипотенузы и не проверяют это.

Примеры с решением

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 16 см, а один из острых углов равен 30°. Найдите катет, лежащий против этого угла.

a = c · sin 30° = 16 · 1/2
a = 8 см

Ответ: 8

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 38 см, а один из острых углов равен 60°. Найдите катет, прилежащий к этому углу.

Третий угол треугольника равен 180° − 90° − 60° = 30°
Катет, прилежащий к углу 60°, лежит против угла 30°
a = 38 : 2 = 19 см

Ответ: 19

3. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен 21 см. Найдите гипотенузу.

a = c : 2
c = 2a = 2 · 21 = 42 см

Ответ: 42

4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 42 см, а один из острых углов равен 30°. Найдите катет, лежащий против этого угла.

a = c · sin 30° = 42 · 1/2
a = 21 см

Ответ: 21

5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 16 см, а один из острых углов равен 60°. Найдите катет, прилежащий к этому углу.

Третий угол треугольника равен 180° − 90° − 60° = 30°
Катет, прилежащий к углу 60°, лежит против угла 30°
a = 16 : 2 = 8 см

Ответ: 8

Подсказки, если не получается

Это известное свойство прямоугольного треугольника с углом 30°.
Такой катет равен половине гипотенузы.
16 : 2 = ?

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Тригонометрия»

Полная справка по разделу — на странице Тригонометрия.