Основное тождество: как решать

Найти второе значение по основному тригонометрическому тождеству.

Определения

Основное тригонометрическое тождество: Равенство sin²α + cos²α = 1, верное для любого угла.

Объяснение

Основное тождество связывает синус и косинус одного угла, позволяя найти одно значение по другому. Это самое используемое тождество тригонометрии.

Откуда оно берётся: возьмём прямоугольный треугольник с гипотенузой 1. Тогда катеты равны синусу и косинусу угла, и теорема Пифагора даёт sin²α + cos²α = 1. То есть тождество - это теорема Пифагора, записанная через тригонометрические функции.

Чтобы найти косинус по известному синусу, выражают: cos²α = 1 − sin²α, откуда косинус равен корню из этой разности. Для синуса 3/5 получаем cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, значит косинус равен 4/5.

Знак корня определяют по условию, а не наугад. Если речь об остром угле, и синус, и косинус положительны. Если угол лежит в другой четверти, знак может быть отрицательным, и в условии обычно указывают, где находится угол.

Из основного тождества выводятся и другие соотношения. Разделив обе части на квадрат косинуса, получаем 1 + tg²α = 1/cos²α - формула, связывающая тангенс с косинусом. Её тоже не нужно запоминать отдельно, достаточно помнить, откуда она получается.

Проверять ответ надо подстановкой в само тождество: сумма квадратов найденных синуса и косинуса обязана дать ровно единицу. Если получилось другое число, ошибка в вычислениях.

Правила и формулы

Основное тождествоsin²α + cos²α = 1
Выражение косинусаcos α = ±√(1 − sin²α)
Выражение синусаsin α = ±√(1 − cos²α)
Для острого угла оба значения положительны
Следствие для тангенса1 + tg²α = 1/cos²α

Порядок действий

Возведите известное значение в квадрат.
Вычтите его из единицы.
Извлеките квадратный корень.
Определите знак по условию - в какой четверти лежит угол.
Проверьте: сумма квадратов обязана дать единицу.

Разбор примеров

sin α = 3/5, угол острый. Найти cos α.

sin²α = 9/25.
cos²α = 1 − 9/25 = 16/25.
cos α = 4/5, знак плюс - угол острый.

Ответ: 4/5

cos α = 0,6, угол острый. Найти sin α.

cos²α = 0,36.
sin²α = 1 − 0,36 = 0,64.
sin α = 0,8.

Ответ: 0,8

sin α = 12/13, угол острый. Найти cos α.

sin²α = 144/169.
cos²α = 25/169.
cos α = 5/13.

Ответ: 5/13

Где обычно ошибаются

Вычитают само значение вместо его квадрата.
Забывают извлечь корень и дают в ответе квадрат косинуса.
Ставят знак наугад, не глядя на условие.

Примеры с решением

1. Острый угол α таков, что cos α = 15/17. Найдите sin α.

sin²α + cos²α = 1
sin²α = 1 − (15/17)² = 1 − 225/289 = 64/289
sin α = 8/17

Ответ: 8/17

2. Острый угол α таков, что sin α = 20/29. Найдите tg α.

sin²α + cos²α = 1
cos α = 21/29
tg α = sin α : cos α = 20/29 : 21/29 = 20/21

Ответ: 20/21

3. Острый угол α таков, что cos α = 56/65. Найдите sin α.

sin²α + cos²α = 1
sin²α = 1 − (56/65)² = 1 − 3136/4225 = 1089/4225
sin α = 33/65

Ответ: 33/65

4. Острый угол α таков, что sin α = 7/25. Найдите cos α.

sin²α + cos²α = 1
cos²α = 1 − (7/25)² = 1 − 49/625 = 576/625
cos α = 24/25

Ответ: 24/25

5. Острый угол α таков, что sin α = 9/41. Найдите tg α.

sin²α + cos²α = 1
cos α = 40/41
tg α = sin α : cos α = 9/41 : 40/41 = 9/40

Ответ: 9/40

Подсказки, если не получается

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла всегда равна 1.
Значит sin²α = 1 − (15/17)².
Извлеки квадратный корень из числителя и знаменателя — угол острый, поэтому знак «плюс».

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Тригонометрия»

Полная справка по разделу — на странице Тригонометрия.