Медиана набора: как решать

Найти медиану набора.

Определения

Медиана: Значение, стоящее посередине упорядоченного набора. Половина чисел не больше медианы, половина не меньше.
Упорядоченный набор: Набор, числа которого расставлены по возрастанию. Медиану ищут только в упорядоченном наборе.

Объяснение

Медиана - вторая по важности характеристика набора после среднего. Она показывает середину: половина значений лежит слева от неё, половина справа.

Первое и обязательное действие - упорядочить набор по возрастанию. Медиана определяется положением, а не значением, и в неупорядоченном наборе середина не имеет смысла. Пропуск этого шага - главная ошибка темы.

Если чисел нечётное количество, медиана - это то число, что оказалось ровно посередине. Для набора из пяти чисел это третье по порядку.

Если чисел чётное количество, серединных чисел два, и медианой считают их полусумму. Для набора из шести чисел берут третье и четвёртое и делят их сумму пополам. Медиана при этом может не совпадать ни с одним значением набора - и это нормально, она характеризует положение, а не отдельное наблюдение.

Главное преимущество медианы перед средним - устойчивость к выбросам. Один миллионер в наборе из десяти человек сильно сдвинет среднюю зарплату, но почти не тронет медианную. Поэтому про доходы и цены обычно говорят медианой.

Медиана и среднее могут заметно отличаться, и это не ошибка, а информация о наборе: если среднее заметно больше медианы, значит в наборе есть крупные выбросы справа. Сравнение этих двух характеристик само по себе говорит о форме распределения данных.

Правила и формулы

Сначала упорядочить набор по возрастанию
Нечётное количество - медиана это среднее по счёту число
Чётное количество - полусумма двух серединныхдля 6 чисел: (a₃ + a₄)/2
Медиана устойчива к выбросам
Медиана может не совпадать ни с одним числом набора

Порядок действий

Запишите все числа набора по возрастанию.
Сосчитайте, сколько чисел получилось.
При нечётном количестве возьмите центральное число.
При чётном найдите два центральных и посчитайте их полусумму.
Проверьте: слева и справа от медианы поровну значений.

Разбор примеров

Медиана набора 7, 3, 9, 4, 5

Упорядочиваем: 3, 4, 5, 7, 9.
Пять чисел - центральное третье.
Это 5.

Ответ: 5

Медиана набора 2, 8, 4, 6

Упорядочиваем: 2, 4, 6, 8.
Четыре числа - берём второе и третье.
(4 + 6)/2 = 5.

Ответ: 5

Медиана набора 1, 1, 2, 100

Набор уже упорядочен.
Четыре числа - берём второе и третье.
(1 + 2)/2 = 1,5.

Ответ: 1,5

Где обычно ошибаются

Ищут медиану в неупорядоченном наборе.
При чётном количестве берут одно из центральных чисел вместо полусуммы.
Путают медиану со средним арифметическим.

Примеры с решением

1. Число решённых задач по дням: 14; 9; 12; 3; 7; 30. Найдите медиану этого набора.

Упорядочиваем по возрастанию: 3; 7; 9; 12; 14; 30
Чисел 6 — чётное количество, берём два средних: 9 и 12.
(9 + 12) : 2 = 10,5

Ответ: 10.5

2. Рост саженцев, см: 23; 16; 24; 16; 12. Найдите медиану этого набора.

Упорядочиваем по возрастанию: 12; 16; 16; 23; 24
Чисел 5 — нечётное количество, медиана — среднее по счёту, 3-е число.
Медиана = 16

Ответ: 16

3. Дневная температура, °C: 28; 15; 5; 23; 9; 17. Найдите медиану этого набора.

Упорядочиваем по возрастанию: 5; 9; 15; 17; 23; 28
Чисел 6 — чётное количество, берём два средних: 15 и 17.
(15 + 17) : 2 = 16

Ответ: 16

4. Число посетителей за неделю: 13; 1; 18; 17; 25; 8; 14. Найдите медиану этого набора.

Упорядочиваем по возрастанию: 1; 8; 13; 14; 17; 18; 25
Чисел 7 — нечётное количество, медиана — среднее по счёту, 4-е число.
Медиана = 14

Ответ: 14

5. Оценки за контрольную работу: 1; 17; 10; 29; 25; 18. Найдите медиану этого набора.

Упорядочиваем по возрастанию: 1; 10; 17; 18; 25; 29
Чисел 6 — чётное количество, берём два средних: 17 и 18.
(17 + 18) : 2 = 17,5

Ответ: 17.5

Подсказки, если не получается

Медиану ищут только у упорядоченного набора.
Сначала расставь числа по возрастанию.
Возьми полусумму двух средних чисел.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Статистика»

Полная справка по разделу — на странице Статистика.