Статистика
Числовой набор описывают несколькими характеристиками сразу.
Содержание
- Среднее арифметическоеНайти среднее арифметическое набора чисел.
- Медиана набораНайти медиану набора.
- Размах набораНайти размах набора.
- Частота событияНайти частоту события.
Среднее арифметическое
Определения
- Среднее арифметическое
- Сумма всех чисел набора, делённая на их количество. Показывает, каким было бы каждое число, если бы общее количество распределили поровну.
- Набор данных
- Совокупность значений, полученных при измерении или наблюдении: оценки за четверть, дневные температуры, результаты замеров.
Объяснение
Среднее арифметическое отвечает на вопрос: сколько досталось бы каждому, если бы всё разделили поровну. Если пятеро собрали разное количество грибов, а потом сложили и разделили поровну, каждому досталось бы среднее арифметическое.
Считается оно просто: сложить все числа и разделить на их количество. Ошибка чаще всего не в сложении, а в подсчёте количества - особенно когда чисел много или когда часть из них повторяется.
Среднее всегда лежит между наименьшим и наибольшим значением набора. Это хорошая проверка: если получилось число вне этого промежутка, значит где-то ошибка. Например, для набора из чисел от 3 до 7 среднее обязано быть между тройкой и семёркой.
Среднее чувствительно к выбросам - отдельным резко выделяющимся значениям. Если в наборе зарплат девять человек получают по 30 тысяч, а один миллион, среднее окажется около 127 тысяч, что не описывает ни одного из них. В таких случаях показательнее медиана.
Среднее не обязано совпадать ни с одним значением набора и может быть дробным даже для целых данных. Среднее число детей в семье 1,7 не означает, что существуют семьи с семью десятыми ребёнка, - это просто характеристика набора.
Если данные заданы с частотами, среднее считают взвешенно: каждое значение умножают на его частоту, складывают и делят на общее количество наблюдений. Забыть про частоты - значит посчитать среднее не того набора.
Правила и формулы
- Среднее арифметическое
(a₁ + a₂ + … + aₙ) / n - Среднее лежит между наименьшим и наибольшим значением
- Может не совпадать ни с одним числом набора
- Чувствительно к выбросам
- С частотами
(Σ значение · частота) / общее количество
Порядок действий
- Выпишите все числа набора.
- Сосчитайте, сколько их.
- Сложите все значения.
- Разделите сумму на количество.
- Проверьте: результат обязан лежать между наименьшим и наибольшим.
Разбор примеров
- Количество: 4 числа.
- Сумма: 4 + 7 + 9 + 4 = 24.
- 24 : 4 = 6.
- Проверка: 6 лежит между 4 и 9.
- Три числа.
- Сумма: 60.
- 60 : 3 = 20.
- Пять чисел.
- Сумма: 2 + 3 + 5 + 5 + 5 = 20.
- 20 : 5 = 4.
Где обычно ошибаются
- Делят на неверное количество - обычно забывают повторяющиеся значения.
- Складывают числа, но делят на количество различных значений, а не всех.
- Не замечают, что результат вышел за пределы набора.
Медиана набора
Определения
- Медиана
- Значение, стоящее посередине упорядоченного набора. Половина чисел не больше медианы, половина не меньше.
- Упорядоченный набор
- Набор, числа которого расставлены по возрастанию. Медиану ищут только в упорядоченном наборе.
Объяснение
Медиана - вторая по важности характеристика набора после среднего. Она показывает середину: половина значений лежит слева от неё, половина справа.
Первое и обязательное действие - упорядочить набор по возрастанию. Медиана определяется положением, а не значением, и в неупорядоченном наборе середина не имеет смысла. Пропуск этого шага - главная ошибка темы.
Если чисел нечётное количество, медиана - это то число, что оказалось ровно посередине. Для набора из пяти чисел это третье по порядку.
Если чисел чётное количество, серединных чисел два, и медианой считают их полусумму. Для набора из шести чисел берут третье и четвёртое и делят их сумму пополам. Медиана при этом может не совпадать ни с одним значением набора - и это нормально, она характеризует положение, а не отдельное наблюдение.
Главное преимущество медианы перед средним - устойчивость к выбросам. Один миллионер в наборе из десяти человек сильно сдвинет среднюю зарплату, но почти не тронет медианную. Поэтому про доходы и цены обычно говорят медианой.
Медиана и среднее могут заметно отличаться, и это не ошибка, а информация о наборе: если среднее заметно больше медианы, значит в наборе есть крупные выбросы справа. Сравнение этих двух характеристик само по себе говорит о форме распределения данных.
Правила и формулы
- Сначала упорядочить набор по возрастанию
- Нечётное количество - медиана это среднее по счёту число
- Чётное количество - полусумма двух серединных
для 6 чисел: (a₃ + a₄)/2 - Медиана устойчива к выбросам
- Медиана может не совпадать ни с одним числом набора
Порядок действий
- Запишите все числа набора по возрастанию.
- Сосчитайте, сколько чисел получилось.
- При нечётном количестве возьмите центральное число.
- При чётном найдите два центральных и посчитайте их полусумму.
- Проверьте: слева и справа от медианы поровну значений.
Разбор примеров
- Упорядочиваем: 3, 4, 5, 7, 9.
- Пять чисел - центральное третье.
- Это 5.
- Упорядочиваем: 2, 4, 6, 8.
- Четыре числа - берём второе и третье.
- (4 + 6)/2 = 5.
- Набор уже упорядочен.
- Четыре числа - берём второе и третье.
- (1 + 2)/2 = 1,5.
Где обычно ошибаются
- Ищут медиану в неупорядоченном наборе.
- При чётном количестве берут одно из центральных чисел вместо полусуммы.
- Путают медиану со средним арифметическим.
Размах набора
Определения
- Размах
- Разность между наибольшим и наименьшим значениями набора. Показывает, насколько широко разбросаны данные.
Объяснение
Размах - самая простая мера разброса. Он отвечает на вопрос, насколько велика разница между крайними значениями набора.
Считается он в одно действие: из наибольшего значения вычитают наименьшее. Для набора 3, 7, 5, 9 наибольшее 9, наименьшее 3, размах равен 6.
Размах всегда неотрицателен. Если получилось отрицательное число, значит вычитали в неверном порядке - из меньшего большее. Нулевой размах означает, что все числа набора одинаковы - разброса нет вовсе.
Размах измеряется в тех же единицах, что и сами данные. Если это температуры в градусах, размах тоже в градусах; если рубли - то в рублях. Это отличает его от, например, доли или процента.
Главный недостаток размаха - он учитывает только два числа из всего набора и полностью игнорирует остальные. Наборы 1, 2, 3, 10 и 1, 9, 9, 10 имеют одинаковый размах 9, хотя устроены совершенно по-разному.
Поэтому размах используют как грубую первую оценку, а для точного описания разброса берут другие меры. Но в школьных задачах его достаточно, и главное - не путать его со средним и медианой: те описывают центр набора, а размах - его ширину. Полное описание набора требует и того, и другого: без центра неясно, где данные, без разброса - насколько они кучные.
Правила и формулы
- Размах
R = наибольшее − наименьшее - Пример
для 3, 7, 5, 9: R = 9 − 3 = 6 - Размах всегда неотрицателен
- Нулевой размах означает одинаковые числа
- Измеряется в тех же единицах, что и данные
Порядок действий
- Просмотрите весь набор и найдите наибольшее значение.
- Найдите наименьшее значение.
- Вычтите из наибольшего наименьшее.
- Проверьте, что результат неотрицателен.
- Запишите ответ в единицах данных.
Разбор примеров
- Наибольшее: 9.
- Наименьшее: 3.
- 9 − 3 = 6.
- Наибольшее и наименьшее совпадают: 12.
- 12 − 12 = 0.
- Наибольшее: 7.
- Наименьшее: −4.
- 7 − (−4) = 11.
Где обычно ошибаются
- Вычитают в обратном порядке и получают отрицательный размах.
- Ищут наименьшее среди положительных, забыв про отрицательные значения.
- Путают размах со средним или медианой.
Частота события
Определения
- Абсолютная частота
- Количество раз, которое событие произошло в серии наблюдений.
- Относительная частота
- Отношение количества наступлений события к общему числу наблюдений. Часто выражается в процентах.
Объяснение
Частота описывает, насколько часто событие встречается в реальных наблюдениях. В отличие от вероятности, которая считается заранее из устройства опыта, частота измеряется по факту.
Абсолютная частота - это просто счёт: сколько раз событие произошло. Если из 50 бросков монеты орёл выпал 23 раза, абсолютная частота орла равна 23.
Относительная частота - доля: количество наступлений, делённое на общее число наблюдений. В нашем примере это 23 : 50 = 0,46, или 46 процентов.
Относительная частота всегда лежит между нулём и единицей. Если получилось больше единицы, значит частоту разделили не на то число или перепутали числитель со знаменателем. В процентах она лежит между 0 и 100.
Связь с вероятностью такая: при большом числе наблюдений относительная частота приближается к вероятности. Именно поэтому при тысяче бросков доля орлов будет ближе к половине, чем при десяти. Но точного совпадения ждать не следует - отклонения нормальны.
Сумма относительных частот всех возможных исходов равна единице. Это хорошая проверка: если частоты нескольких событий, покрывающих все случаи, дали в сумме не единицу, значит какое-то наблюдение потеряно или посчитано дважды. Такая проверка занимает секунду и ловит большинство ошибок счёта.
Правила и формулы
- Абсолютная частота - количество наступлений события
- Относительная частота
частота = m / n - Пример
23 из 50: 23 : 50 = 0,46 = 46 % - Относительная частота лежит между 0 и 1
- Сумма частот всех исходов равна единице
Порядок действий
- Сосчитайте, сколько раз произошло интересующее событие.
- Сосчитайте общее число наблюдений.
- Разделите первое на второе.
- При необходимости умножьте на сто для процентов.
- Проверьте: результат обязан лежать между нулём и единицей.
Разбор примеров
- Абсолютная частота: 23.
- Всего наблюдений: 50.
- 23 : 50 = 0,46.
- 8 : 200 = 0,04.
- Умножаем на сто: 4 %.
- 15 : 25 = 0,6.
- В процентах: 60 %.
Где обычно ошибаются
- Делят общее число наблюдений на количество наступлений.
- Забывают умножить на сто, когда ответ требуется в процентах.
- Получают частоту больше единицы и не замечают ошибки.
Пример с решением
- Сумма: 8 + 11 + 16 + 9 = 44
- Количество чисел: 4
- 44 : 4 = 11
- Сумма: 26 + 23 + 29 + 14 = 92
- Количество чисел: 4
- 92 : 4 = 23
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.