Член геометрической прогрессии: как решать
Найти член геометрической прогрессии.
Определения
- Геометрическая прогрессия
- Последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число.
- Знаменатель прогрессии
- Число q, на которое умножают каждый член для получения следующего. Равно частному любых двух соседних членов.
Объяснение
Геометрическая прогрессия описывает рост в разы, а не на величину: вклад под проценты, размножение клеток, затухание сигнала. Общее свойство - постоянное отношение соседних членов.
Знаменатель находят делением: любой член делят на предыдущий. Для прогрессии 2, 6, 18, 54 получаем q = 6 : 2 = 3. Если знаменатель больше единицы, прогрессия растёт; если между нулём и единицей - убывает; если отрицателен - знаки членов чередуются.
Формула n-го члена устроена как у арифметической, но вместо прибавления - умножение: bₙ = b₁ · q^(n−1). Показатель тоже n − 1, потому что от первого члена до n-го делается n − 1 шаг умножения.
Для прогрессии 2, 6, 18 пятый член равен 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162. Проверить можно прямым счётом: 2, 6, 18, 54, 162 - сходится.
Геометрическая прогрессия растёт несравнимо быстрее арифметической. Прибавляя по 3, за десять шагов мы увеличим двойку до 29; умножая на 3, получим больше сорока тысяч. Это стоит помнить в задачах на проценты и вклады - там работает именно геометрический рост.
Ни один член геометрической прогрессии не может быть нулём, и знаменатель тоже не равен нулю. Иначе вся последовательность после первого нуля состояла бы из нулей, и понятие знаменателя потеряло бы смысл.
Правила и формулы
- Знаменатель прогрессии
q = bₙ₊₁ : bₙ - Формула n-го члена
bₙ = b₁ · q^(n−1) - Показатель степени - на единицу меньше номера
- При q < 0 знаки членов чередуются
- Ни один член и знаменатель не равны нулю
Порядок действий
- Найдите знаменатель, разделив любой член на предыдущий.
- Выпишите первый член.
- Определите номер нужного члена.
- Возведите знаменатель в степень на единицу меньше номера.
- Умножьте на первый член и проверьте прямым счётом.
Разбор примеров
- Знаменатель: 6 : 2 = 3.
- b₅ = 2 · 3⁴.
- 3⁴ = 81, значит 2 · 81 = 162.
- Проверка: 2, 6, 18, 54, 162.
- b₄ = 5 · 2³.
- 2³ = 8.
- 5 · 8 = 40
- Знаменатель: −4 : 8 = −0,5.
- b₃ = 8 · (−0,5)² = 8 · 0,25.
- Получается 2, что совпадает с данным.
Где обычно ошибаются
- Возводят знаменатель в степень n вместо n − 1.
- Находят знаменатель вычитанием, как у арифметической прогрессии.
- Теряют знак при отрицательном знаменателе.
Примеры с решением
- b₁ = 3, q = 9 : 3 = 3
- bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
- b5 = 3 · 3^4 = 243
- b₁ = 3, q = 6 : 3 = 2
- bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
- b8 = 3 · 2^7 = 384
- b₁ = 7, q = 21 : 7 = 3
- bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
- b5 = 7 · 3^4 = 567
- b₁ = 2, q = 8 : 2 = 4
- bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
- b5 = 2 · 4^4 = 512
- b₁ = 7, q = 14 : 7 = 2
- bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
- b7 = 7 · 2^6 = 448
Подсказки, если не получается
- Найди знаменатель q — во сколько раз каждый член больше предыдущего.
- q = 3
- bₙ = b₁ · q в степени (n − 1).
Другие темы раздела «Прогрессии»
Полная справка по разделу — на странице Прогрессии.