Сложные проценты: как решать
Решить задачу на сложные проценты.
Определения
- Сложные проценты
- Начисление процентов, при котором каждый следующий раз процент считается от суммы, уже увеличенной предыдущими начислениями.
- Простые проценты
- Начисление, при котором процент каждый раз считается от исходной суммы. Растут линейно, а не в разы.
Объяснение
Сложные проценты - прямое приложение геометрической прогрессии. Каждый период сумма умножается на один и тот же коэффициент, значит последовательность сумм по годам и есть геометрическая прогрессия.
Коэффициент составляют так же, как в задачах на изменение величины: при росте на p процентов множитель равен 1 + p/100. Для десяти процентов это 1,1, для пяти - 1,05, для двадцати - 1,2.
Формула: итоговая сумма равна начальной, умноженной на коэффициент в степени, равной числу периодов. Вклад 10 000 под 10 процентов годовых через 2 года даст 10 000 · 1,1² = 10 000 · 1,21 = 12 100 рублей.
Разница со простыми процентами видна сразу. При простых процентах за два года начислили бы 1000 + 1000 = 2000 рублей, при сложных - 2100. Лишняя сотня - это проценты, начисленные на проценты первого года. Чем больше срок, тем сильнее расходятся результаты.
Показатель степени равен числу периодов начисления, а не числу лет, если начисляют чаще раза в год. При ежеквартальном начислении за год будет четыре периода, и ставку за период берут соответственно меньшую.
Проверять полезно прикидкой через простые проценты: сложные всегда дают больше, но при небольшом числе периодов ненамного. Если результат оказался меньше, чем при простых процентах, значит коэффициент составлен неверно.
Правила и формулы
- Коэффициент роста
k = 1 + p/100 - Формула сложных процентов
S = S₀ · kⁿ - Пример
10 000 · 1,1² = 12 100 - Показатель равен числу периодов начисления
- Сложные проценты всегда дают больше простых
Порядок действий
- Найдите процентную ставку за один период.
- Составьте коэффициент: единица плюс доля процента.
- Определите количество периодов начисления.
- Возведите коэффициент в эту степень.
- Умножьте на начальную сумму и сравните с прикидкой по простым процентам.
Разбор примеров
- Коэффициент: 1 + 0,1 = 1,1.
- Периодов два.
- 1,1² = 1,21.
- 10 000 · 1,21 = 12 100
- Коэффициент: 1,2.
- 1,2² = 1,44.
- 5000 · 1,44 = 7200
- Коэффициент снижения: 1 − 0,1 = 0,9.
- 0,9² = 0,81.
- 800 · 0,81 = 648
Где обычно ошибаются
- Умножают процент на число лет вместо возведения коэффициента в степень.
- Составляют коэффициент как p/100 без прибавления единицы.
- При начислении чаще раза в год берут показателем число лет, а не число периодов.
Примеры с решением
- Коэффициент за год: 1 + 25 : 100 = 1,25
- Через 1 год: 8000 · 1,25 = 10000 ₽
- Через 2 года: 10000 · 1,25 = 12500 ₽
- Через 3 года: 12500 · 1,25 = 15625 ₽
- Коэффициент за год: 1 + 25 : 100 = 1,25
- Через 1 год: 10000 · 1,25 = 12500 ₽
- Через 2 года: 12500 · 1,25 = 15625 ₽
- Коэффициент за год: 1 + 20 : 100 = 1,2
- Через 3 года: 8000 · 1,2 · 1,2 · 1,2 = 13824 ₽
- Прирост: 13824 − 8000 = 5824 ₽
- Коэффициент за год: 1 + 50 : 100 = 1,5
- Через 1 год: 8000 · 1,5 = 12000 ₽
- Через 2 года: 12000 · 1,5 = 18000 ₽
- Коэффициент за год: 1 + 100 : 100 = 2
- Через 1 год: 1000 · 2 = 2000 ₽
- Через 2 года: 2000 · 2 = 4000 ₽
Подсказки, если не получается
- Проценты второго года начисляются уже на новую сумму.
- За год сумма умножается на 1,25.
- Умножьте исходную сумму на этот коэффициент 3 раза.
Другие темы раздела «Прогрессии»
Полная справка по разделу — на странице Прогрессии.