Сумма арифметической прогрессии: как решать
Найти сумму первых членов арифметической прогрессии.
Определения
- Сумма первых n членов
- Обозначается Sₙ. Равна полусумме первого и n-го членов, умноженной на количество членов.
Объяснение
Складывать члены прогрессии по одному долго и ненадёжно. Существует формула, которая даёт сумму сразу, и понять её проще всего через известную историю про сложение чисел от 1 до 100.
Приём такой: запишем сумму дважды - в прямом и в обратном порядке - и сложим почленно. Каждая пара даст одно и то же число, равное сумме первого и последнего членов. Таких пар ровно n, значит удвоенная сумма равна n(a₁ + aₙ), а сама сумма вдвое меньше.
Отсюда формула: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n. Читается она понятно: среднее арифметическое крайних членов, умноженное на количество членов. Для равномерной последовательности это то же самое, что среднее значение, умноженное на количество.
Если последний член неизвестен, его сначала находят по формуле n-го члена, а потом подставляют. Есть и вариант формулы через разность: Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n, но это та же формула с подставленным aₙ.
Для суммы первых десяти членов прогрессии 3, 7, 11 сначала находим a₁₀ = 39, потом считаем S₁₀ = (3 + 39)/2 · 10 = 21 · 10 = 210.
Проверить результат можно грубой прикидкой: сумма обязана быть примерно равна среднему члену, умноженному на количество. Средний член нашей прогрессии около 21, членов десять - значит около 210, что и получилось.
Правила и формулы
- Сумма через крайние члены
Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n - Сумма через разность
Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n - Смысл формулы: среднее крайних, умноженное на количество
- Если aₙ неизвестен, его находят по формуле n-го члена
- Прикидка: сумма примерно равна среднему члену, умноженному на n
Порядок действий
- Определите первый член и разность.
- Если последний член не дан, найдите его по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Сложите первый и последний члены.
- Разделите пополам и умножьте на количество членов.
- Проверьте прикидкой.
Разбор примеров
- Разность 4, первый член 3.
- a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39.
- S₁₀ = (3 + 39)/2 · 10.
- 21 · 10 = 210
- Это прогрессия с a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100.
- S = (1 + 100)/2 · 100.
- 50,5 · 100 = 5050
- a₆ = 2 + 5 · 3 = 17.
- S₆ = (2 + 17)/2 · 6.
- 9,5 · 6 = 57
Где обычно ошибаются
- Подставляют в формулу номер вместо значения последнего члена.
- Забывают разделить сумму крайних членов пополам.
- Находят aₙ с ошибкой в n − 1 и портят всю сумму.
Примеры с решением
- d = 3, a8 = 2 + 7 · 3 = 23
- Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2
- S8 = (2 + 23) · 8 : 2 = 100
- d = 2, a10 = 5 + 9 · 2 = 23
- Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2
- S10 = (5 + 23) · 10 : 2 = 140
- d = 5, a6 = 3 + 5 · 5 = 28
- Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2
- S6 = (3 + 28) · 6 : 2 = 93
- d = 4, a6 = 6 + 5 · 4 = 26
- Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2
- S6 = (6 + 26) · 6 : 2 = 96
- d = 3, a12 = 8 + 11 · 3 = 41
- Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2
- S12 = (8 + 41) · 12 : 2 = 294
Подсказки, если не получается
- Сначала найди последний из складываемых членов.
- a8 = 23
- Sₙ = (a₁ + aₙ) · n : 2
Другие темы раздела «Прогрессии»
Полная справка по разделу — на странице Прогрессии.