Член арифметической прогрессии: как решать
Найти член арифметической прогрессии.
Определения
- Арифметическая прогрессия
- Последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему.
- Разность прогрессии
- Число d, прибавляемое к каждому члену для получения следующего. Равно разности любых двух соседних членов.
Объяснение
Арифметическая прогрессия описывает равномерный рост или убывание: зарплата, растущая на фиксированную сумму, ряды кресел, увеличивающиеся на одинаковое число мест. Общее свойство - постоянная разность между соседними членами.
Разность находят вычитанием: из любого члена вычитают предыдущий, причём годится любая пара соседей - результат будет один и тот же. Если разность положительна, прогрессия возрастает; если отрицательна - убывает; если равна нулю, все члены одинаковы.
Чтобы найти произвольный член, не нужно перебирать всю последовательность. От первого члена до n-го делается n − 1 шаг, и каждый шаг прибавляет d. Отсюда формула: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
Число n − 1 в формуле - самое частое место ошибок. Полезно проверять формулу на первом члене: при n = 1 получается a₁ + 0 · d = a₁, всё сходится. Если бы стояло n вместо n − 1, первый член вышел бы неверным.
Для прогрессии 3, 7, 11, 15 разность равна 4. Десятый член равен 3 + 9 · 4 = 39. Обратите внимание: множитель 9, а не 10, потому что от первого члена до десятого девять шагов.
Формулу можно применять и в обратную сторону: зная член и номер, находить разность или первый член. Тогда её рассматривают как уравнение относительно нужной величины и решают обычными приёмами.
Правила и формулы
- Разность прогрессии
d = aₙ₊₁ − aₙ - Формула n-го члена
aₙ = a₁ + (n − 1)d - Проверка формулы
при n = 1 получается a₁ - d > 0 - возрастает, d < 0 - убывает
- Каждый член - среднее арифметическое соседей
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2
Порядок действий
- Найдите разность, вычтя из любого члена предыдущий.
- Выпишите первый член.
- Определите номер нужного члена.
- Подставьте в формулу, не забыв вычесть единицу из номера.
- Проверьте формулу на первом или втором члене.
Разбор примеров
- Разность: 7 − 3 = 4.
- Первый член: 3.
- a₁₀ = 3 + (10 − 1) · 4.
- 3 + 36 = 39
- a₅ = 20 + (5 − 1) · (−3).
- 20 − 12 = 8
- a₄ = a₁ + 3d, значит 20 = 5 + 3d.
- 3d = 15.
- d = 5
Где обычно ошибаются
- Умножают d на n вместо n − 1.
- Находят разность вычитанием в обратном порядке и получают неверный знак.
- Считают, что прогрессия обязана возрастать.
Примеры с решением
- a₁ = 8, d = 13 − 8 = 5
- aₙ = a₁ + (n − 1)d
- a11 = 8 + 10 · 5 = 58
- a₁ = 7, d = 9 − 7 = 2
- aₙ = a₁ + (n − 1)d
- a6 = 7 + 5 · 2 = 17
- a₁ = 5, d = 7 − 5 = 2
- aₙ = a₁ + (n − 1)d
- a7 = 5 + 6 · 2 = 17
- a₁ = 6, d = 9 − 6 = 3
- aₙ = a₁ + (n − 1)d
- a9 = 6 + 8 · 3 = 30
- a₁ = 1, d = 4 − 1 = 3
- aₙ = a₁ + (n − 1)d
- a6 = 1 + 5 · 3 = 16
Подсказки, если не получается
- Сначала найди разность d — она одинакова для всех соседних членов.
- d = 5
- aₙ = a₁ + (n − 1)d
Другие темы раздела «Прогрессии»
Полная справка по разделу — на странице Прогрессии.