Прогрессии
Последовательность, в которой каждый следующий член получают по одному и тому же правилу.
Содержание
- Член арифметической прогрессииНайти член арифметической прогрессии.
- Сумма арифметической прогрессииНайти сумму первых членов арифметической прогрессии.
- Член геометрической прогрессииНайти член геометрической прогрессии.
- Сложные процентыРешить задачу на сложные проценты.
Член арифметической прогрессии
Определения
- Арифметическая прогрессия
- Последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему.
- Разность прогрессии
- Число d, прибавляемое к каждому члену для получения следующего. Равно разности любых двух соседних членов.
Объяснение
Арифметическая прогрессия описывает равномерный рост или убывание: зарплата, растущая на фиксированную сумму, ряды кресел, увеличивающиеся на одинаковое число мест. Общее свойство - постоянная разность между соседними членами.
Разность находят вычитанием: из любого члена вычитают предыдущий, причём годится любая пара соседей - результат будет один и тот же. Если разность положительна, прогрессия возрастает; если отрицательна - убывает; если равна нулю, все члены одинаковы.
Чтобы найти произвольный член, не нужно перебирать всю последовательность. От первого члена до n-го делается n − 1 шаг, и каждый шаг прибавляет d. Отсюда формула: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
Число n − 1 в формуле - самое частое место ошибок. Полезно проверять формулу на первом члене: при n = 1 получается a₁ + 0 · d = a₁, всё сходится. Если бы стояло n вместо n − 1, первый член вышел бы неверным.
Для прогрессии 3, 7, 11, 15 разность равна 4. Десятый член равен 3 + 9 · 4 = 39. Обратите внимание: множитель 9, а не 10, потому что от первого члена до десятого девять шагов.
Формулу можно применять и в обратную сторону: зная член и номер, находить разность или первый член. Тогда её рассматривают как уравнение относительно нужной величины и решают обычными приёмами.
Правила и формулы
- Разность прогрессии
d = aₙ₊₁ − aₙ - Формула n-го члена
aₙ = a₁ + (n − 1)d - Проверка формулы
при n = 1 получается a₁ - d > 0 - возрастает, d < 0 - убывает
- Каждый член - среднее арифметическое соседей
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2
Порядок действий
- Найдите разность, вычтя из любого члена предыдущий.
- Выпишите первый член.
- Определите номер нужного члена.
- Подставьте в формулу, не забыв вычесть единицу из номера.
- Проверьте формулу на первом или втором члене.
Разбор примеров
- Разность: 7 − 3 = 4.
- Первый член: 3.
- a₁₀ = 3 + (10 − 1) · 4.
- 3 + 36 = 39
- a₅ = 20 + (5 − 1) · (−3).
- 20 − 12 = 8
- a₄ = a₁ + 3d, значит 20 = 5 + 3d.
- 3d = 15.
- d = 5
Где обычно ошибаются
- Умножают d на n вместо n − 1.
- Находят разность вычитанием в обратном порядке и получают неверный знак.
- Считают, что прогрессия обязана возрастать.
Сумма арифметической прогрессии
Определения
- Сумма первых n членов
- Обозначается Sₙ. Равна полусумме первого и n-го членов, умноженной на количество членов.
Объяснение
Складывать члены прогрессии по одному долго и ненадёжно. Существует формула, которая даёт сумму сразу, и понять её проще всего через известную историю про сложение чисел от 1 до 100.
Приём такой: запишем сумму дважды - в прямом и в обратном порядке - и сложим почленно. Каждая пара даст одно и то же число, равное сумме первого и последнего членов. Таких пар ровно n, значит удвоенная сумма равна n(a₁ + aₙ), а сама сумма вдвое меньше.
Отсюда формула: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n. Читается она понятно: среднее арифметическое крайних членов, умноженное на количество членов. Для равномерной последовательности это то же самое, что среднее значение, умноженное на количество.
Если последний член неизвестен, его сначала находят по формуле n-го члена, а потом подставляют. Есть и вариант формулы через разность: Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n, но это та же формула с подставленным aₙ.
Для суммы первых десяти членов прогрессии 3, 7, 11 сначала находим a₁₀ = 39, потом считаем S₁₀ = (3 + 39)/2 · 10 = 21 · 10 = 210.
Проверить результат можно грубой прикидкой: сумма обязана быть примерно равна среднему члену, умноженному на количество. Средний член нашей прогрессии около 21, членов десять - значит около 210, что и получилось.
Правила и формулы
- Сумма через крайние члены
Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n - Сумма через разность
Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n - Смысл формулы: среднее крайних, умноженное на количество
- Если aₙ неизвестен, его находят по формуле n-го члена
- Прикидка: сумма примерно равна среднему члену, умноженному на n
Порядок действий
- Определите первый член и разность.
- Если последний член не дан, найдите его по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Сложите первый и последний члены.
- Разделите пополам и умножьте на количество членов.
- Проверьте прикидкой.
Разбор примеров
- Разность 4, первый член 3.
- a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39.
- S₁₀ = (3 + 39)/2 · 10.
- 21 · 10 = 210
- Это прогрессия с a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100.
- S = (1 + 100)/2 · 100.
- 50,5 · 100 = 5050
- a₆ = 2 + 5 · 3 = 17.
- S₆ = (2 + 17)/2 · 6.
- 9,5 · 6 = 57
Где обычно ошибаются
- Подставляют в формулу номер вместо значения последнего члена.
- Забывают разделить сумму крайних членов пополам.
- Находят aₙ с ошибкой в n − 1 и портят всю сумму.
Член геометрической прогрессии
Определения
- Геометрическая прогрессия
- Последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число.
- Знаменатель прогрессии
- Число q, на которое умножают каждый член для получения следующего. Равно частному любых двух соседних членов.
Объяснение
Геометрическая прогрессия описывает рост в разы, а не на величину: вклад под проценты, размножение клеток, затухание сигнала. Общее свойство - постоянное отношение соседних членов.
Знаменатель находят делением: любой член делят на предыдущий. Для прогрессии 2, 6, 18, 54 получаем q = 6 : 2 = 3. Если знаменатель больше единицы, прогрессия растёт; если между нулём и единицей - убывает; если отрицателен - знаки членов чередуются.
Формула n-го члена устроена как у арифметической, но вместо прибавления - умножение: bₙ = b₁ · q^(n−1). Показатель тоже n − 1, потому что от первого члена до n-го делается n − 1 шаг умножения.
Для прогрессии 2, 6, 18 пятый член равен 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162. Проверить можно прямым счётом: 2, 6, 18, 54, 162 - сходится.
Геометрическая прогрессия растёт несравнимо быстрее арифметической. Прибавляя по 3, за десять шагов мы увеличим двойку до 29; умножая на 3, получим больше сорока тысяч. Это стоит помнить в задачах на проценты и вклады - там работает именно геометрический рост.
Ни один член геометрической прогрессии не может быть нулём, и знаменатель тоже не равен нулю. Иначе вся последовательность после первого нуля состояла бы из нулей, и понятие знаменателя потеряло бы смысл.
Правила и формулы
- Знаменатель прогрессии
q = bₙ₊₁ : bₙ - Формула n-го члена
bₙ = b₁ · q^(n−1) - Показатель степени - на единицу меньше номера
- При q < 0 знаки членов чередуются
- Ни один член и знаменатель не равны нулю
Порядок действий
- Найдите знаменатель, разделив любой член на предыдущий.
- Выпишите первый член.
- Определите номер нужного члена.
- Возведите знаменатель в степень на единицу меньше номера.
- Умножьте на первый член и проверьте прямым счётом.
Разбор примеров
- Знаменатель: 6 : 2 = 3.
- b₅ = 2 · 3⁴.
- 3⁴ = 81, значит 2 · 81 = 162.
- Проверка: 2, 6, 18, 54, 162.
- b₄ = 5 · 2³.
- 2³ = 8.
- 5 · 8 = 40
- Знаменатель: −4 : 8 = −0,5.
- b₃ = 8 · (−0,5)² = 8 · 0,25.
- Получается 2, что совпадает с данным.
Где обычно ошибаются
- Возводят знаменатель в степень n вместо n − 1.
- Находят знаменатель вычитанием, как у арифметической прогрессии.
- Теряют знак при отрицательном знаменателе.
Сложные проценты
Определения
- Сложные проценты
- Начисление процентов, при котором каждый следующий раз процент считается от суммы, уже увеличенной предыдущими начислениями.
- Простые проценты
- Начисление, при котором процент каждый раз считается от исходной суммы. Растут линейно, а не в разы.
Объяснение
Сложные проценты - прямое приложение геометрической прогрессии. Каждый период сумма умножается на один и тот же коэффициент, значит последовательность сумм по годам и есть геометрическая прогрессия.
Коэффициент составляют так же, как в задачах на изменение величины: при росте на p процентов множитель равен 1 + p/100. Для десяти процентов это 1,1, для пяти - 1,05, для двадцати - 1,2.
Формула: итоговая сумма равна начальной, умноженной на коэффициент в степени, равной числу периодов. Вклад 10 000 под 10 процентов годовых через 2 года даст 10 000 · 1,1² = 10 000 · 1,21 = 12 100 рублей.
Разница со простыми процентами видна сразу. При простых процентах за два года начислили бы 1000 + 1000 = 2000 рублей, при сложных - 2100. Лишняя сотня - это проценты, начисленные на проценты первого года. Чем больше срок, тем сильнее расходятся результаты.
Показатель степени равен числу периодов начисления, а не числу лет, если начисляют чаще раза в год. При ежеквартальном начислении за год будет четыре периода, и ставку за период берут соответственно меньшую.
Проверять полезно прикидкой через простые проценты: сложные всегда дают больше, но при небольшом числе периодов ненамного. Если результат оказался меньше, чем при простых процентах, значит коэффициент составлен неверно.
Правила и формулы
- Коэффициент роста
k = 1 + p/100 - Формула сложных процентов
S = S₀ · kⁿ - Пример
10 000 · 1,1² = 12 100 - Показатель равен числу периодов начисления
- Сложные проценты всегда дают больше простых
Порядок действий
- Найдите процентную ставку за один период.
- Составьте коэффициент: единица плюс доля процента.
- Определите количество периодов начисления.
- Возведите коэффициент в эту степень.
- Умножьте на начальную сумму и сравните с прикидкой по простым процентам.
Разбор примеров
- Коэффициент: 1 + 0,1 = 1,1.
- Периодов два.
- 1,1² = 1,21.
- 10 000 · 1,21 = 12 100
- Коэффициент: 1,2.
- 1,2² = 1,44.
- 5000 · 1,44 = 7200
- Коэффициент снижения: 1 − 0,1 = 0,9.
- 0,9² = 0,81.
- 800 · 0,81 = 648
Где обычно ошибаются
- Умножают процент на число лет вместо возведения коэффициента в степень.
- Составляют коэффициент как p/100 без прибавления единицы.
- При начислении чаще раза в год берут показателем число лет, а не число периодов.
Пример с решением
- a₁ = 8, d = 13 − 8 = 5
- aₙ = a₁ + (n − 1)d
- a11 = 8 + 10 · 5 = 58
- a₁ = 7, d = 9 − 7 = 2
- aₙ = a₁ + (n − 1)d
- a6 = 7 + 5 · 2 = 17
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.