Признаки делимости: как решать

Определить делимость числа, не выполняя деления.

Определения

Делимость

Число a делится на b, если существует целое число q, для которого a = b · q. Иначе говоря, деление выполняется без остатка.

Признак делимости

Правило, позволяющее по виду записи числа установить, делится оно на данное число или нет, без выполнения деления.

Чётное число

Число, делящееся на 2 без остатка. Оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6 или 8.

Объяснение

Признаки делимости нужны затем, чтобы не считать лишнего. Прежде чем сокращать дробь, искать общий знаменатель или раскладывать число на множители, полезно за секунду понять, делится ли оно на два, на три, на пять. Это экономит львиную долю работы в вычислениях.

Признаки для 2, 5 и 10 опираются на последнюю цифру, и причина проста: любое число - это десятки плюс единицы, а десятки уже делятся и на 2, и на 5, и на 10. Значит, вся делимость зависит только от разряда единиц. Отсюда: на 2 делятся числа с чётной последней цифрой, на 5 - оканчивающиеся на 0 или 5, на 10 - оканчивающиеся на 0.

Признаки для 4 и 25 устроены похоже, только смотрят на две последние цифры: сотни делятся и на 4, и на 25, поэтому остальное зависит от последних двух разрядов. Число 316 делится на 4, потому что 16 делится на 4.

Признаки для 3 и 9 совсем другого рода - они смотрят на сумму цифр. Основание тут такое: 10 при делении на 9 даёт остаток 1, значит и 100, и 1000 дают остаток 1. Поэтому остаток всего числа при делении на 9 равен остатку суммы его цифр. То же верно и для 3. Число 738 делится на 9, потому что 7 + 3 + 8 = 18, а 18 делится на 9.

Признаки можно комбинировать. Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3 одновременно. На 15 - если делится на 3 и на 5. Работает это, когда множители взаимно простые: для 6 это 2 и 3, у них нет общих делителей. А вот для 8 разложение на 2 и 4 не годится - двойка и четвёрка не взаимно просты.

Признак делимости отвечает только на вопрос «делится или нет» и не даёт частного. Если нужен сам результат, деление всё равно придётся выполнить. Зато признак мгновенно отсекает бесполезные попытки: не стоит искать, на что сократить дробь 37/64, если ни один признак не срабатывает.

Правила и формулы

• На 2 делятся числа с чётной последней цифрой316 делится на 2
• На 5 - оканчивающиеся на 0 или 5, на 10 - оканчивающиеся на 0
• На 4 - если две последние цифры образуют число, кратное 4316: 16 делится на 4
• На 3 и на 9 - если сумма цифр делится на 3 или на 9738: 7 + 3 + 8 = 18
• На 6 - если делится и на 2, и на 3

Порядок действий

1. Посмотрите на последнюю цифру - это сразу даёт признаки 2, 5 и 10.
2. Для 4 проверьте две последние цифры.
3. Для 3 и 9 сложите все цифры числа.
4. Для составных делителей проверьте признаки взаимно простых множителей.
5. Помните: признак говорит только о факте делимости, но не даёт частного.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Применяют признак суммы цифр к делимости на 2 или на 4 - там он не работает.
• Раскладывают делитель на не взаимно простые множители: проверяют делимость на 8 через 2 и 4.
• Считают, что признак даёт частное. Он отвечает только «да» или «нет».

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Вспомни признак делимости на 3.
• Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
• Перебирай цифры начиная с нуля и возьми первую подходящую.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Делимость»

• Простые и составные числа
• Делители числа
• Наибольший общий делитель (НОД)
• Наименьшее общее кратное (НОК)
• Деление с остатком

Полная справка по разделу — на странице Делимость.