Делители числа: как решать
Сосчитать делители числа или найти их сумму.
Определения
- Делитель числа
- Число, на которое данное делится без остатка. Делители числа 12 - это 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Парные делители
- Два делителя, произведение которых равно самому числу: для 12 это пары 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
Объяснение
Найти все делители числа можно перебором, но перебирать до самого числа не нужно. Делители всегда ходят парами: если 2 делит 12, то и 6 делит 12, потому что 2 · 6 = 12. Значит, достаточно перебрать делители до квадратного корня, а вторые половинки пар получить делением.
Для 12 корень между 3 и 4. Проверяем 1, 2, 3: единица подходит, парный ей 12; двойка подходит, парный 6; тройка подходит, парный 4. Всего шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Такой способ вдвое короче полного перебора и почти не оставляет шансов что-то пропустить.
Есть и способ через разложение на простые множители, он быстрее для больших чисел. Если число разложено как произведение степеней простых, то количество делителей равно произведению показателей, увеличенных на единицу. Для 12 = 2² · 3¹ получаем (2 + 1) · (1 + 1) = 6 делителей - ровно столько мы и насчитали перебором.
Почему формула работает: каждый делитель строится выбором, сколько двоек в него взять (0, 1 или 2 - три варианта) и сколько троек (0 или 1 - два варианта). Всего 3 · 2 = 6 комбинаций, и каждая даёт свой делитель.
Отдельный случай - точные квадраты. У них один из делителей парный сам себе: у числа 36 это 6, потому что 6 · 6 = 36. Поэтому у точных квадратов количество делителей нечётное, а у всех остальных чисел - чётное. Это хороший способ проверить себя.
Сумму делителей находят сложением найденного списка. Для 12 это 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. Здесь важно не пропустить ни единицу, ни само число - их забывают чаще всего.
Правила и формулы
- Делители ходят парами
12: (1, 12), (2, 6), (3, 4) - Перебирать достаточно до квадратного корня
- Количество делителей через разложение
12 = 2² · 3 → (2 + 1)(1 + 1) = 6 - У точных квадратов количество делителей нечётное
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 - девять штук - Единица и само число тоже делители
Порядок действий
- Прикиньте квадратный корень из числа.
- Переберите делители от 1 до этого корня.
- Для каждого найденного делителя запишите парный ему.
- Соберите список, упорядочив по возрастанию.
- Проверьте количество по формуле через разложение на простые множители.
Разбор примеров
- Корень между 3 и 4, перебираем 1, 2, 3.
- 1 подходит, пара 12. 2 подходит, пара 6. 3 подходит, пара 4.
- Собираем: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Раскладываем: 36 = 2² · 3².
- Показатели 2 и 2, увеличиваем на единицу: 3 и 3.
- 3 · 3 = 9 делителей.
- Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Складываем: 1 + 2 + 3 = 6, 4 + 6 = 10, вместе 16.
- 16 + 12 = 28
Где обычно ошибаются
- Забывают единицу или само число в списке делителей.
- Перебирают до самого числа вместо квадратного корня - долго и легко сбиться.
- В формуле количества делителей перемножают сами показатели, не увеличив их на единицу.
Примеры с решением
- Делители числа 72: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72
- Всего их 12.
- Делители числа 54: 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54
- Всего их 8.
- Делители числа 77: 1; 7; 11; 77
- Всего их 4.
- Делители числа 96: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 32; 48; 96
- 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 + 32 + 48 + 96 = 252
- Делители числа 65: 1; 5; 13; 65
- 1 + 5 + 13 + 65 = 84
Подсказки, если не получается
- Выписывай делители парами — от краёв к середине.
- 1 и 72, потом 2 и 72 : 2, и так далее.
- Дойдя до середины, посчитай, сколько чисел получилось.
Другие темы раздела «Делимость»
- Признаки делимости
- Простые и составные числа
- Наибольший общий делитель (НОД)
- Наименьшее общее кратное (НОК)
- Деление с остатком
Полная справка по разделу — на странице Делимость.