Делимость
НОД, НОК и остаток — основа работы с дробями и кратными.
Содержание
- Признаки делимостиОпределить делимость числа, не выполняя деления.
- Простые и составные числаОтличить простое число от составного.
- Делители числаСосчитать делители числа или найти их сумму.
- Наибольший общий делитель (НОД)Найти наибольший общий делитель.
- Наименьшее общее кратное (НОК)Найти наименьшее общее кратное.
- Деление с остаткомРазделить с остатком.
Признаки делимости
Определения
- Делимость
- Число a делится на b, если существует целое число q, для которого a = b · q. Иначе говоря, деление выполняется без остатка.
- Признак делимости
- Правило, позволяющее по виду записи числа установить, делится оно на данное число или нет, без выполнения деления.
- Чётное число
- Число, делящееся на 2 без остатка. Оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6 или 8.
Объяснение
Признаки делимости нужны затем, чтобы не считать лишнего. Прежде чем сокращать дробь, искать общий знаменатель или раскладывать число на множители, полезно за секунду понять, делится ли оно на два, на три, на пять. Это экономит львиную долю работы в вычислениях.
Признаки для 2, 5 и 10 опираются на последнюю цифру, и причина проста: любое число - это десятки плюс единицы, а десятки уже делятся и на 2, и на 5, и на 10. Значит, вся делимость зависит только от разряда единиц. Отсюда: на 2 делятся числа с чётной последней цифрой, на 5 - оканчивающиеся на 0 или 5, на 10 - оканчивающиеся на 0.
Признаки для 4 и 25 устроены похоже, только смотрят на две последние цифры: сотни делятся и на 4, и на 25, поэтому остальное зависит от последних двух разрядов. Число 316 делится на 4, потому что 16 делится на 4.
Признаки для 3 и 9 совсем другого рода - они смотрят на сумму цифр. Основание тут такое: 10 при делении на 9 даёт остаток 1, значит и 100, и 1000 дают остаток 1. Поэтому остаток всего числа при делении на 9 равен остатку суммы его цифр. То же верно и для 3. Число 738 делится на 9, потому что 7 + 3 + 8 = 18, а 18 делится на 9.
Признаки можно комбинировать. Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3 одновременно. На 15 - если делится на 3 и на 5. Работает это, когда множители взаимно простые: для 6 это 2 и 3, у них нет общих делителей. А вот для 8 разложение на 2 и 4 не годится - двойка и четвёрка не взаимно просты.
Признак делимости отвечает только на вопрос «делится или нет» и не даёт частного. Если нужен сам результат, деление всё равно придётся выполнить. Зато признак мгновенно отсекает бесполезные попытки: не стоит искать, на что сократить дробь 37/64, если ни один признак не срабатывает.
Правила и формулы
- На 2 делятся числа с чётной последней цифрой
316 делится на 2 - На 5 - оканчивающиеся на 0 или 5, на 10 - оканчивающиеся на 0
- На 4 - если две последние цифры образуют число, кратное 4
316: 16 делится на 4 - На 3 и на 9 - если сумма цифр делится на 3 или на 9
738: 7 + 3 + 8 = 18 - На 6 - если делится и на 2, и на 3
Порядок действий
- Посмотрите на последнюю цифру - это сразу даёт признаки 2, 5 и 10.
- Для 4 проверьте две последние цифры.
- Для 3 и 9 сложите все цифры числа.
- Для составных делителей проверьте признаки взаимно простых множителей.
- Помните: признак говорит только о факте делимости, но не даёт частного.
Разбор примеров
- Складываем цифры: 7 + 3 + 8 = 18.
- 18 делится на 9.
- Значит и 738 делится на 9.
- Смотрим две последние цифры: 16.
- 16 делится на 4.
- На 2 делится: последняя цифра 0.
- Сумма цифр 5 + 7 + 0 = 12, делится на 3.
- Делится и на 2, и на 3 - значит на 6.
Где обычно ошибаются
- Применяют признак суммы цифр к делимости на 2 или на 4 - там он не работает.
- Раскладывают делитель на не взаимно простые множители: проверяют делимость на 8 через 2 и 4.
- Считают, что признак даёт частное. Он отвечает только «да» или «нет».
Простые и составные числа
Определения
- Простое число
- Натуральное число больше единицы, имеющее ровно два делителя: единицу и само себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11.
- Составное число
- Натуральное число больше единицы, имеющее больше двух делителей. Например, 6 делится на 1, 2, 3 и 6.
- Разложение на простые множители
- Представление числа в виде произведения простых чисел: 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Для каждого числа оно единственно.
Объяснение
Простые числа - это «кирпичики», из которых умножением складываются все остальные натуральные числа. Любое составное число можно разложить на простые множители, причём единственным способом, если не считать порядка. Это утверждение называют основной теоремой арифметики, и на нём держится вся работа с дробями, НОД и НОК.
Определение требует внимания к границам. Единица не относится ни к простым, ни к составным: у неё всего один делитель. Двойка - простое число, и притом единственное чётное простое: все остальные чётные делятся на 2 и потому составные.
Чтобы проверить число на простоту, его пробуют делить на простые числа подряд: 2, 3, 5, 7, 11 и так далее. Но перебирать до самого числа не нужно - достаточно дойти до квадратного корня из него. Причина проста: если у числа есть делитель больше корня, то парный ему делитель обязательно меньше корня, и мы бы его уже нашли.
Для 91 проверка выглядит так. Корень из 91 чуть меньше 10, значит проверяем делители 2, 3, 5, 7. На 2 не делится - нечётное. На 3 не делится: 9 + 1 = 10. На 5 не делится. А вот на 7 делится: 91 = 7 · 13. Значит число составное.
Разложение на множители удобно вести «лесенкой»: делим число на наименьший простой делитель, потом частное - снова на наименьший, и так пока не дойдём до единицы. Для 60 получаем 60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 = 2 · 2 · 3 · 5.
Разложение нужно не само по себе, а как инструмент: через него находят НОД и НОК, сокращают дроби, считают количество делителей. Поэтому имеет смысл довести этот приём до автоматизма - он потом окупается во всех темах про дроби.
Правила и формулы
- Простое число имеет ровно два делителя
7: только 1 и 7 - Единица не простая и не составная
- Двойка - единственное чётное простое число
- Проверять делители достаточно до квадратного корня
для 91 хватает делителей до 9 - Разложение на простые множители единственно
60 = 2 · 2 · 3 · 5
Порядок действий
- Отбросьте случаи 0 и 1 - они не простые и не составные.
- Прикиньте квадратный корень из числа - до него и будете проверять.
- Пробуйте делить на простые числа подряд: 2, 3, 5, 7, 11.
- Если нашёлся делитель - число составное, если ни один не подошёл - простое.
- Для разложения делите на наименьший простой делитель, пока не дойдёте до единицы.
Разбор примеров
- Корень из 91 чуть меньше 10 - проверяем до 9.
- На 2 не делится, на 3 не делится (сумма цифр 10), на 5 не делится.
- На 7 делится: 91 = 7 · 13.
- Корень из 37 около 6 - проверяем 2, 3, 5.
- Нечётное, сумма цифр 10 не делится на 3, не оканчивается на 0 или 5.
- Делителей не нашлось.
- 60 : 2 = 30.
- 30 : 2 = 15.
- 15 : 3 = 5, и 5 - простое.
Где обычно ошибаются
- Считают единицу простым числом.
- Проверяют делимость на все числа подряд до самого числа - лишняя работа.
- Считают, что все нечётные числа простые: 9, 15, 21 - составные.
Делители числа
Определения
- Делитель числа
- Число, на которое данное делится без остатка. Делители числа 12 - это 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Парные делители
- Два делителя, произведение которых равно самому числу: для 12 это пары 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4.
Объяснение
Найти все делители числа можно перебором, но перебирать до самого числа не нужно. Делители всегда ходят парами: если 2 делит 12, то и 6 делит 12, потому что 2 · 6 = 12. Значит, достаточно перебрать делители до квадратного корня, а вторые половинки пар получить делением.
Для 12 корень между 3 и 4. Проверяем 1, 2, 3: единица подходит, парный ей 12; двойка подходит, парный 6; тройка подходит, парный 4. Всего шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Такой способ вдвое короче полного перебора и почти не оставляет шансов что-то пропустить.
Есть и способ через разложение на простые множители, он быстрее для больших чисел. Если число разложено как произведение степеней простых, то количество делителей равно произведению показателей, увеличенных на единицу. Для 12 = 2² · 3¹ получаем (2 + 1) · (1 + 1) = 6 делителей - ровно столько мы и насчитали перебором.
Почему формула работает: каждый делитель строится выбором, сколько двоек в него взять (0, 1 или 2 - три варианта) и сколько троек (0 или 1 - два варианта). Всего 3 · 2 = 6 комбинаций, и каждая даёт свой делитель.
Отдельный случай - точные квадраты. У них один из делителей парный сам себе: у числа 36 это 6, потому что 6 · 6 = 36. Поэтому у точных квадратов количество делителей нечётное, а у всех остальных чисел - чётное. Это хороший способ проверить себя.
Сумму делителей находят сложением найденного списка. Для 12 это 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. Здесь важно не пропустить ни единицу, ни само число - их забывают чаще всего.
Правила и формулы
- Делители ходят парами
12: (1, 12), (2, 6), (3, 4) - Перебирать достаточно до квадратного корня
- Количество делителей через разложение
12 = 2² · 3 → (2 + 1)(1 + 1) = 6 - У точных квадратов количество делителей нечётное
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 - девять штук - Единица и само число тоже делители
Порядок действий
- Прикиньте квадратный корень из числа.
- Переберите делители от 1 до этого корня.
- Для каждого найденного делителя запишите парный ему.
- Соберите список, упорядочив по возрастанию.
- Проверьте количество по формуле через разложение на простые множители.
Разбор примеров
- Корень между 3 и 4, перебираем 1, 2, 3.
- 1 подходит, пара 12. 2 подходит, пара 6. 3 подходит, пара 4.
- Собираем: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Раскладываем: 36 = 2² · 3².
- Показатели 2 и 2, увеличиваем на единицу: 3 и 3.
- 3 · 3 = 9 делителей.
- Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Складываем: 1 + 2 + 3 = 6, 4 + 6 = 10, вместе 16.
- 16 + 12 = 28
Где обычно ошибаются
- Забывают единицу или само число в списке делителей.
- Перебирают до самого числа вместо квадратного корня - долго и легко сбиться.
- В формуле количества делителей перемножают сами показатели, не увеличив их на единицу.
Наибольший общий делитель (НОД)
Определения
- Общий делитель
- Число, на которое делятся оба данных числа. Для 18 и 24 общие делители - 1, 2, 3, 6.
- Наибольший общий делитель (НОД)
- Самый большой из общих делителей. НОД(18, 24) = 6.
- Взаимно простые числа
- Числа, у которых НОД равен единице: 8 и 15. Общих делителей, кроме единицы, у них нет.
Объяснение
НОД нужен прежде всего для сокращения дробей: разделив числитель и знаменатель на их НОД, получаем несократимую дробь сразу, за один шаг. Кроме того, НОД встречается в задачах на разрезание и раскладывание - когда надо разделить два набора на одинаковые части наибольшего размера.
Первый способ - через разложение на простые множители. Раскладываем оба числа, выписываем общие множители и перемножаем их. Для 18 = 2 · 3 · 3 и 24 = 2 · 2 · 2 · 3 общими будут одна двойка и одна тройка, значит НОД = 2 · 3 = 6. Каждый общий множитель берут в наименьшей степени из встречающихся.
Второй способ - алгоритм Евклида, он быстрее для больших чисел и не требует разложения. Делим большее число на меньшее с остатком, потом меньшее на остаток, и так пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток и есть НОД.
Для 18 и 24 это выглядит так: 24 : 18 = 1 и остаток 6; затем 18 : 6 = 3 и остаток 0. Последний ненулевой остаток - 6, значит НОД равен 6. Алгоритм работает потому, что общие делители пары чисел совпадают с общими делителями меньшего числа и остатка.
Проверить ответ легко: оба числа обязаны делиться на найденный НОД нацело, а после деления полученные частные обязаны стать взаимно простыми. Для 18 и 24 частные 3 и 4 - у них общих делителей нет, значит НОД найден верно, а не занижен.
Если числа взаимно простые, их НОД равен единице. Это не ошибка и не тупик: значит, дробь из этих чисел уже несократима, а наборы нельзя разделить на равные части крупнее одной штуки.
Правила и формулы
- НОД через разложение: общие множители в наименьшей степени
18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3 → НОД = 2 · 3 = 6 - Алгоритм Евклида: делим с остатком, пока остаток не станет нулём
- НОД - последний ненулевой остаток
24 : 18 ост. 6; 18 : 6 ост. 0 → НОД = 6 - Проверка: частные после деления на НОД взаимно просты
18 : 6 = 3, 24 : 6 = 4 - У взаимно простых чисел НОД равен единице
Порядок действий
- Выберите способ: разложение - для небольших чисел, алгоритм Евклида - для крупных.
- При разложении выпишите общие простые множители в наименьшей степени.
- При алгоритме Евклида делите большее на меньшее с остатком и повторяйте.
- Остановитесь, когда остаток станет нулём, - предыдущий остаток и есть НОД.
- Проверьте: разделите оба числа на НОД, частные обязаны быть взаимно простыми.
Разбор примеров
- Раскладываем: 18 = 2 · 3 · 3, 24 = 2 · 2 · 2 · 3.
- Общие множители: одна двойка и одна тройка.
- 2 · 3 = 6
- Проверка: 18 : 6 = 3, 24 : 6 = 4, они взаимно просты.
- 48 : 36 = 1, остаток 12.
- 36 : 12 = 3, остаток 0.
- Последний ненулевой остаток - 12.
- Раскладываем: 8 = 2 · 2 · 2, 15 = 3 · 5.
- Общих простых множителей нет.
Где обычно ошибаются
- Берут общие множители в наибольшей степени вместо наименьшей.
- Находят какой-нибудь общий делитель и останавливаются, не проверив, наибольший ли он.
- В алгоритме Евклида берут последний остаток, который равен нулю, вместо предыдущего.
Наименьшее общее кратное (НОК)
Определения
- Общее кратное
- Число, которое делится на оба данных числа. Для 4 и 6 общими кратными будут 12, 24, 36 и так далее.
- Наименьшее общее кратное (НОК)
- Самое маленькое из положительных общих кратных. НОК(4, 6) = 12.
Объяснение
НОК нужен прежде всего для приведения дробей к общему знаменателю: взяв именно наименьшее кратное, вы получите самые маленькие числа и меньше работы при сокращении. Кроме того, НОК встречается в задачах про совпадения событий - когда два процесса повторяются с разной периодичностью и надо узнать, когда они совпадут.
Самый наглядный способ - выписать кратные каждого числа и найти первое общее. Для 4 это 4, 8, 12, 16, 20, 24; для 6 это 6, 12, 18, 24. Первое общее - 12. Способ надёжный, но для больших чисел слишком долгий.
Способ через разложение работает всегда. Раскладываем оба числа на простые множители и берём каждый встретившийся множитель в наибольшей степени. Для 4 = 2² и 6 = 2 · 3 берём 2² и 3, получаем 4 · 3 = 12. Обратите внимание: для НОД брали наименьшие степени, для НОК берём наибольшие - правила зеркальны, и путать их нельзя.
Самый быстрый способ - через НОД. Произведение двух чисел равно произведению их НОД и НОК, отсюда НОК = произведение чисел, делённое на НОД. Для 4 и 6: НОД равен 2, произведение 24, значит НОК = 24 : 2 = 12. Если НОД уже найден, это одно действие.
Полезный частный случай: если одно число делится на другое, НОК равен большему из них. Для 6 и 12 наименьшее общее кратное - просто 12. А если числа взаимно простые, НОК равен их произведению: для 4 и 9 это 36.
Проверять ответ надо в две стороны. Найденное число обязано делиться на оба исходных - это проверка на «общее». И оно должно быть наименьшим таким - проверить можно, разделив его пополам или на маленький множитель и убедившись, что результат уже не подходит.
Правила и формулы
- НОК через разложение: все множители в наибольшей степени
4 = 2², 6 = 2 · 3 → НОК = 2² · 3 = 12 - Связь с НОД
НОК(a, b) = a · b : НОД(a, b) - Если одно число делится на другое, НОК равен большему
НОК(6, 12) = 12 - У взаимно простых чисел НОК равен произведению
НОК(4, 9) = 36 - Для НОД берут наименьшие степени, для НОК - наибольшие
Порядок действий
- Проверьте, не делится ли одно число на другое - тогда НОК равен большему.
- Разложите оба числа на простые множители.
- Возьмите каждый встретившийся множитель в наибольшей степени.
- Перемножьте - получится НОК. Либо разделите произведение чисел на их НОД.
- Проверьте: результат делится на оба числа и меньшего такого нет.
Разбор примеров
- Раскладываем: 4 = 2 · 2, 6 = 2 · 3.
- Берём наибольшие степени: 2² и 3.
- 4 · 3 = 12
- Проверка: 12 делится и на 4, и на 6.
- НОД(8, 12) = 4.
- Произведение: 8 · 12 = 96.
- 96 : 4 = 24
- Числа взаимно простые - общих множителей нет.
- НОК равен произведению: 5 · 7 = 35.
Где обычно ошибаются
- Берут множители в наименьшей степени - это правило для НОД, а не для НОК.
- Всегда перемножают числа: для 6 и 12 получают 72 вместо 12.
- Находят какое-нибудь общее кратное и не проверяют, наименьшее ли оно.
Деление с остатком
Определения
- Деление с остатком
- Представление числа в виде a = b · q + r, где q - неполное частное, r - остаток, причём остаток неотрицателен и меньше делителя.
- Неполное частное
- Наибольшее целое число, которое при умножении на делитель не превосходит делимого. В записи 47 = 5 · 9 + 2 неполное частное равно 9.
- Остаток
- То, что осталось от делимого после вычитания произведения делителя на неполное частное. Всегда меньше делителя.
Объяснение
Деление с остатком описывает обычную житейскую ситуацию: разделить поровну не получается, что-то остаётся. Сорок семь конфет на пятерых поровну не разложить - каждому достанется по девять, и две конфеты останутся лишними. Записывают это равенством 47 = 5 · 9 + 2.
В этой записи четыре участника, и у каждого своя роль: 47 - делимое, 5 - делитель, 9 - неполное частное, 2 - остаток. Ключевое требование одно: остаток обязан быть неотрицательным и строго меньше делителя. Если остаток получился не меньше делителя, значит частное занижено и в нём можно взять ещё единицу.
Именно это условие делает представление единственным. Написать 47 = 5 · 8 + 7 формально можно, но семёрка больше пятёрки, значит это не деление с остатком, а просто верное равенство. Правильный ответ только один - тот, где остаток укладывается в границы.
Находят неполное частное подбором: ищут наибольшее кратное делителю, не превосходящее делимого. Для 47 и 5 ближайшее кратное снизу - 45, оно равно 5 · 9, значит частное 9, а остаток 47 − 45 = 2.
Остаток тесно связан с признаками делимости: если остаток равен нулю, число делится нацело. Поэтому деление с остатком - это общий случай, а обычное деление - его частный вариант, где остаток нулевой.
Задачи на остатки часто спрашивают не частное, а именно остаток: какой день недели будет через 100 дней, какая цифра будет последней. Там важно понимать, что остаток повторяется циклически, и весь вопрос сводится к делению на длину цикла.
Правила и формулы
- Формула деления с остатком
a = b · q + r, где 0 ≤ r < b - Остаток всегда меньше делителя
47 : 5 = 9 (ост. 2) - Неполное частное - наибольшее подходящее целое
- Если остаток равен нулю, деление выполнено нацело
- Проверка: b · q + r обязано дать a
5 · 9 + 2 = 47
Порядок действий
- Найдите наибольшее кратное делителю, не превосходящее делимого.
- Разделите его на делитель - получите неполное частное.
- Вычтите это кратное из делимого - получите остаток.
- Убедитесь, что остаток меньше делителя.
- Проверьте: частное умножьте на делитель и прибавьте остаток.
Разбор примеров
- Ближайшее кратное пяти снизу - 45.
- 45 : 5 = 9, значит неполное частное 9.
- Остаток: 47 − 45 = 2, он меньше 5.
- Проверка: 5 · 9 + 2 = 47.
- Ближайшее кратное семи снизу - 98.
- 98 : 7 = 14.
- Остаток: 100 − 98 = 2.
- Проверка: 7 · 14 + 2 = 100.
- 36 делится на 6 нацело.
- 36 = 6 · 6 + 0.
- Остаток нулевой.
Где обычно ошибаются
- Оставляют остаток не меньше делителя: пишут 47 : 5 = 8 и остаток 7.
- В проверке забывают прибавить остаток и получают не то делимое.
- Путают неполное частное с остатком местами в ответе.
Пример с решением
- число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
- Сумма цифр числа 74✻: 7 + 4 + ✻
- Наименьшая подходящая цифра — 1: сумма цифр 741 равна 12, а 12 делится на 3.
- Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
- 405 — делится
- 204 — делится
- 426 — делится
- 626 — не делится
- 459 — делится
- 882 — делится
- Подходящих чисел: 5
Задача собирается заново при каждом открытии, поэтому решения нельзя выучить наизусть. Разделы и порядок тем взяты из федеральных рабочих программ по математике.