Matisto

Простые и составные числа: как решать

Отличить простое число от составного.

Определения

Простое число
Натуральное число больше единицы, имеющее ровно два делителя: единицу и само себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11.
Составное число
Натуральное число больше единицы, имеющее больше двух делителей. Например, 6 делится на 1, 2, 3 и 6.
Разложение на простые множители
Представление числа в виде произведения простых чисел: 60 = 2 · 2 · 3 · 5. Для каждого числа оно единственно.

Объяснение

Простые числа - это «кирпичики», из которых умножением складываются все остальные натуральные числа. Любое составное число можно разложить на простые множители, причём единственным способом, если не считать порядка. Это утверждение называют основной теоремой арифметики, и на нём держится вся работа с дробями, НОД и НОК.

Определение требует внимания к границам. Единица не относится ни к простым, ни к составным: у неё всего один делитель. Двойка - простое число, и притом единственное чётное простое: все остальные чётные делятся на 2 и потому составные.

Чтобы проверить число на простоту, его пробуют делить на простые числа подряд: 2, 3, 5, 7, 11 и так далее. Но перебирать до самого числа не нужно - достаточно дойти до квадратного корня из него. Причина проста: если у числа есть делитель больше корня, то парный ему делитель обязательно меньше корня, и мы бы его уже нашли.

Для 91 проверка выглядит так. Корень из 91 чуть меньше 10, значит проверяем делители 2, 3, 5, 7. На 2 не делится - нечётное. На 3 не делится: 9 + 1 = 10. На 5 не делится. А вот на 7 делится: 91 = 7 · 13. Значит число составное.

Разложение на множители удобно вести «лесенкой»: делим число на наименьший простой делитель, потом частное - снова на наименьший, и так пока не дойдём до единицы. Для 60 получаем 60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 = 2 · 2 · 3 · 5.

Разложение нужно не само по себе, а как инструмент: через него находят НОД и НОК, сокращают дроби, считают количество делителей. Поэтому имеет смысл довести этот приём до автоматизма - он потом окупается во всех темах про дроби.

Правила и формулы

Порядок действий

  1. Отбросьте случаи 0 и 1 - они не простые и не составные.
  2. Прикиньте квадратный корень из числа - до него и будете проверять.
  3. Пробуйте делить на простые числа подряд: 2, 3, 5, 7, 11.
  4. Если нашёлся делитель - число составное, если ни один не подошёл - простое.
  5. Для разложения делите на наименьший простой делитель, пока не дойдёте до единицы.

Разбор примеров

Простое ли 91?
  1. Корень из 91 чуть меньше 10 - проверяем до 9.
  2. На 2 не делится, на 3 не делится (сумма цифр 10), на 5 не делится.
  3. На 7 делится: 91 = 7 · 13.
Ответ: составное
Простое ли 37?
  1. Корень из 37 около 6 - проверяем 2, 3, 5.
  2. Нечётное, сумма цифр 10 не делится на 3, не оканчивается на 0 или 5.
  3. Делителей не нашлось.
Ответ: простое
Разложить 60 на множители
  1. 60 : 2 = 30.
  2. 30 : 2 = 15.
  3. 15 : 3 = 5, и 5 - простое.
Ответ: 2 · 2 · 3 · 5

Где обычно ошибаются

Примеры с решением

1. Сколько простых чисел среди чисел 39; 27; 29; 17; 15?
  1. 39 — составное (39 = 3 · 13)
  2. 27 — составное (27 = 3 · 9)
  3. 29 — простое
  4. 17 — простое
  5. 15 — составное (15 = 3 · 5)
  6. Простых чисел: 2
Ответ: 2
2. Найдите наименьший простой делитель числа 15.
  1. 15 = 3 · 5
  2. 3 — простое, меньших простых делителей у 15 нет.
Ответ: 3
3. Сколько простых чисел среди чисел 25; 37; 11; 49; 31?
  1. 25 — составное (25 = 5 · 5)
  2. 37 — простое
  3. 11 — простое
  4. 49 — составное (49 = 7 · 7)
  5. 31 — простое
  6. Простых чисел: 3
Ответ: 3
4. Найдите наименьший простой делитель числа 35.
  1. 35 = 5 · 7
  2. 5 — простое, меньших простых делителей у 35 нет.
Ответ: 5
5. Сколько простых чисел среди чисел 25; 29; 51; 21; 31?
  1. 25 — составное (25 = 5 · 5)
  2. 29 — простое
  3. 51 — составное (51 = 3 · 17)
  4. 21 — составное (21 = 3 · 7)
  5. 31 — простое
  6. Простых чисел: 2
Ответ: 2

Подсказки, если не получается

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Делимость»

Полная справка по разделу — на странице Делимость.