Наименьшее общее кратное (НОК): как решать

Найти наименьшее общее кратное.

Определения

Общее кратное

Число, которое делится на оба данных числа. Для 4 и 6 общими кратными будут 12, 24, 36 и так далее.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Самое маленькое из положительных общих кратных. НОК(4, 6) = 12.

Объяснение

НОК нужен прежде всего для приведения дробей к общему знаменателю: взяв именно наименьшее кратное, вы получите самые маленькие числа и меньше работы при сокращении. Кроме того, НОК встречается в задачах про совпадения событий - когда два процесса повторяются с разной периодичностью и надо узнать, когда они совпадут.

Самый наглядный способ - выписать кратные каждого числа и найти первое общее. Для 4 это 4, 8, 12, 16, 20, 24; для 6 это 6, 12, 18, 24. Первое общее - 12. Способ надёжный, но для больших чисел слишком долгий.

Способ через разложение работает всегда. Раскладываем оба числа на простые множители и берём каждый встретившийся множитель в наибольшей степени. Для 4 = 2² и 6 = 2 · 3 берём 2² и 3, получаем 4 · 3 = 12. Обратите внимание: для НОД брали наименьшие степени, для НОК берём наибольшие - правила зеркальны, и путать их нельзя.

Самый быстрый способ - через НОД. Произведение двух чисел равно произведению их НОД и НОК, отсюда НОК = произведение чисел, делённое на НОД. Для 4 и 6: НОД равен 2, произведение 24, значит НОК = 24 : 2 = 12. Если НОД уже найден, это одно действие.

Полезный частный случай: если одно число делится на другое, НОК равен большему из них. Для 6 и 12 наименьшее общее кратное - просто 12. А если числа взаимно простые, НОК равен их произведению: для 4 и 9 это 36.

Проверять ответ надо в две стороны. Найденное число обязано делиться на оба исходных - это проверка на «общее». И оно должно быть наименьшим таким - проверить можно, разделив его пополам или на маленький множитель и убедившись, что результат уже не подходит.

Правила и формулы

• НОК через разложение: все множители в наибольшей степени4 = 2², 6 = 2 · 3 → НОК = 2² · 3 = 12
• Связь с НОДНОК(a, b) = a · b : НОД(a, b)
• Если одно число делится на другое, НОК равен большемуНОК(6, 12) = 12
• У взаимно простых чисел НОК равен произведениюНОК(4, 9) = 36
• Для НОД берут наименьшие степени, для НОК - наибольшие

Порядок действий

1. Проверьте, не делится ли одно число на другое - тогда НОК равен большему.
2. Разложите оба числа на простые множители.
3. Возьмите каждый встретившийся множитель в наибольшей степени.
4. Перемножьте - получится НОК. Либо разделите произведение чисел на их НОД.
5. Проверьте: результат делится на оба числа и меньшего такого нет.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Берут множители в наименьшей степени - это правило для НОД, а не для НОК.
• Всегда перемножают числа: для 6 и 12 получают 72 вместо 12.
• Находят какое-нибудь общее кратное и не проверяют, наименьшее ли оно.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Общее кратное делится на оба числа. Нужно наименьшее.
• Найди сначала НОД(19, 17).
• Потом 19 · 17 раздели на НОД.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Делимость»

• Признаки делимости
• Простые и составные числа
• Делители числа
• Наибольший общий делитель (НОД)
• Деление с остатком

Полная справка по разделу — на странице Делимость.