Парабола: как решать
Найти элементы параболы.
Определения
- Парабола
- Множество точек, равноудалённых от фиксированной точки-фокуса и фиксированной прямой-директрисы.
- Параметр параболы
- Число p в каноническом уравнении y² = 2px. Равно расстоянию от фокуса до директрисы.
Объяснение
Парабола определяется равенством расстояний: до фокуса и до директрисы. В отличие от эллипса и гиперболы, фокус у неё один.
Каноническое уравнение имеет вид y² = 2px, где p - параметр. Такая парабола симметрична относительно оси абсцисс и открыта вправо при положительном p.
Фокус лежит в точке (p/2; 0), а директриса задаётся уравнением x = −p/2. Обе величины равны половине параметра, только с разными знаками - фокус внутри параболы, директриса снаружи.
Разберём y² = 8x. Сравнивая с 2px, получаем 2p = 8, значит p = 4. Фокус в точке (2; 0), директриса x = −2.
Обратите внимание на промежуточный шаг: из коэффициента 8 сначала находят p = 4, и только потом делят пополам для координаты фокуса. Пропуск этого шага - самая частая ошибка: за координату фокуса берут 4 вместо 2.
Школьная парабола y = ax² - это та же кривая, только повёрнутая: она симметрична относительно вертикальной оси. Каноническое уравнение для такого расположения имеет вид x² = 2py.
Проверять полезно определением: возьмите любую точку параболы и сравните расстояния до фокуса и до директрисы - они обязаны совпасть.
Отрицательный параметр разворачивает параболу в другую сторону: при p меньше нуля ветви открываются влево. Фокус и директриса меняются местами по знаку.
Правила и формулы
- Каноническое уравнение
y² = 2px - Фокус
(p/2; 0) - Директриса
x = −p/2 - Параметр находят сравнением коэффициентов
y² = 8x → 2p = 8 → p = 4 - Для вертикальной оси
x² = 2py
Порядок действий
- Приведите уравнение к каноническому виду.
- Сравните коэффициент при линейной переменной с 2p.
- Найдите параметр p.
- Разделите его пополам - получите координату фокуса.
- Запишите директрису с противоположным знаком.
Разбор примеров
- Сравниваем с y² = 2px.
- 2p = 8.
- p = 4.
- p = 4.
- Координата фокуса: p/2 = 2.
- Директриса: x = −p/2.
- x = −2.
Где обычно ошибаются
- Берут за параметр сам коэффициент, не деля на два.
- Помещают фокус в точку с координатой p вместо p/2.
- Путают знак директрисы с координатой фокуса.
Примеры с решением
- 2p = 48, значит p = 24
- Параметр p = 24
- 2p = 12, значит p = 6
- Фокус в точке (p/2; 0), директриса x = −p/2, между ними 6
- 2p = 48, значит p = 24
- Фокус в точке (p/2; 0), расстояние равно 12
- 2p = 4, значит p = 2
- Фокус в точке (p/2; 0), директриса x = −p/2, между ними 2
- 2p = 16, значит p = 8
- Фокус в точке (p/2; 0), директриса x = −p/2, между ними 8
Подсказки, если не получается
- Сравните уравнение с каноническим y² = 2px.
- Здесь 2p = 48.
- Это и есть параметр.
Другие темы раздела «Кривые второго порядка»
Полная справка по разделу — на странице Кривые второго порядка.