Окружность: как решать

Найти центр и радиус окружности по общему уравнению.

Определения

Каноническое уравнение окружности

Уравнение вида (x − a)² + (y − b)² = R², где (a; b) - центр, R - радиус.

Выделение полного квадрата

Преобразование, приводящее общее уравнение к каноническому виду.

Объяснение

Окружность в каноническом виде читается сразу: центр стоит в скобках со знаком минус, справа - квадрат радиуса. Уравнение (x − 3)² + (y + 2)² = 25 задаёт окружность с центром (3; −2) и радиусом 5.

Знаки в скобках надо читать внимательно: запись (y + 2)² означает y − (−2), значит вторая координата центра равна −2, а не 2. Это самая частая ошибка чтения канонического уравнения.

Справа стоит квадрат радиуса, а не радиус. Из числа 25 радиус получается извлечением корня и равен 5. Записать в ответе 25 - вторая типичная ошибка.

Если уравнение дано в общем виде, с раскрытыми скобками, его приводят к каноническому выделением полного квадрата. Для этого группируют слагаемые с x и слагаемые с y отдельно.

Выделение полного квадрата: берут половину коэффициента при первой степени, возводят её в квадрат, прибавляют и тут же вычитают. Для x² − 6x берём половину от 6, это 3, её квадрат 9: x² − 6x = (x − 3)² − 9.

Разберём x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Группируем: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12. Выделяем квадраты: (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12, откуда (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Центр (3; −2), радиус 5.

Проверять полезно подстановкой: возьмите точку, отстоящую от центра на радиус, и убедитесь, что она удовлетворяет уравнению.

Правила и формулы

• Каноническое уравнение(x − a)² + (y − b)² = R²
• Центр читается со сменой знака(y + 2)² означает b = −2
• Справа стоит квадрат радиуса
• Выделение полного квадратаx² − 6x = (x − 3)² − 9
• Половину коэффициента возводят в квадрат

Порядок действий

1. Сгруппируйте слагаемые с x и слагаемые с y.
2. Для каждой группы выделите полный квадрат.
3. Перенесите лишние числа вправо.
4. Прочитайте центр из скобок, меняя знаки.
5. Извлеките корень из правой части - получите радиус.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Читают центр без смены знака.
• Дают в ответе квадрат радиуса вместо радиуса.
• При выделении квадрата забывают вычесть добавленное число.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Сгруппируйте слагаемые с x и слагаемые с y.
• Выделите полный квадрат в каждой группе.
• Получится центр (2; 7) и радиус 2.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Кривые второго порядка»

• Эллипс
• Гипербола
• Парабола

Полная справка по разделу — на странице Кривые второго порядка.