Кривые второго порядка

Эллипс

Определения

Эллипс

Множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек-фокусов постоянна.

Полуоси

Числа a и b в каноническом уравнении. Большая полуось - вдоль оси, где знаменатель больше.

Эксцентриситет

Отношение c к a, где c - расстояние от центра до фокуса. Показывает, насколько эллипс вытянут.

Объяснение

Эллипс определяется через сумму расстояний до двух фокусов: она одна и та же для всех точек кривой. Именно поэтому эллипс можно нарисовать нитью, закреплённой в двух точках.

Каноническое уравнение имеет вид x²/a² + y²/b² = 1. Числа a и b - полуоси, они читаются прямо из знаменателей как корни из них.

Большая полуось - та, у которой знаменатель больше. Если больше знаменатель под x², эллипс вытянут вдоль горизонтальной оси, если под y² - вдоль вертикальной.

Фокусы лежат на большой оси, и расстояние от центра до фокуса находят по формуле c² = a² − b², где a - большая полуось. Обратите внимание: здесь именно разность, а не сумма, и это отличает эллипс от гиперболы.

Разберём уравнение x²/25 + y²/9 = 1. Полуоси: a = 5, b = 3. Большая горизонтальная. Тогда c² = 25 − 9 = 16, значит c = 4, фокусы в точках (±4; 0).

Эксцентриситет равен c/a и для эллипса всегда меньше единицы. Чем он ближе к нулю, тем эллипс круглее; при нулевом эксцентриситете эллипс превращается в окружность, у которой a = b.

Проверять полезно логикой: c обязано быть меньше a, иначе фокусы вышли бы за пределы кривой. Если получилось иначе, значит перепутаны полуоси.

Если центр эллипса смещён, в уравнении появляются скобки вида (x − x₀)². Полуоси и фокусное расстояние считаются так же, а фокусы сдвигаются вместе с центром.

Правила и формулы

• Каноническое уравнениеx²/a² + y²/b² = 1
• Полуоси - корни из знаменателей
• Расстояние до фокусаc² = a² − b²
• Эксцентриситетe = c/a < 1
• При a = b эллипс становится окружностью

Порядок действий

1. Приведите уравнение к каноническому виду с единицей справа.
2. Извлеките корни из знаменателей - получите полуоси.
3. Определите, какая полуось больше.
4. Найдите c по формуле разности квадратов полуосей.
5. Проверьте: c обязано быть меньше большей полуоси.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Берут знаменатели за полуоси, не извлекая корень.
• Складывают квадраты полуосей вместо вычитания.
• Помещают фокусы на малую ось.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Гипербола

Определения

Гипербола

Множество точек, модуль разности расстояний от которых до двух фокусов постоянен. Состоит из двух ветвей.

Асимптоты

Прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются, не пересекая их.

Объяснение

Гипербола определяется через разность расстояний до фокусов, а не сумму, как эллипс. Отсюда и её форма - две отдельные ветви, уходящие в бесконечность.

Каноническое уравнение: x²/a² − y²/b² = 1. Главное отличие от эллипса - знак минус между дробями. Именно он делает кривую гиперболой.

Расстояние от центра до фокуса находят по формуле c² = a² + b² - здесь сумма, а не разность. Это второе принципиальное отличие от эллипса, и путать формулы нельзя.

Отсюда следует, что у гиперболы c всегда больше a, а значит эксцентриситет больше единицы. У эллипса он был меньше единицы - удобный способ различить кривые по эксцентриситету.

Асимптоты задаются уравнениями y = ±(b/a)x. Ветви гиперболы прижимаются к ним, но никогда не касаются. Асимптоты рисуют первыми - они задают каркас чертежа.

Разберём x²/16 − y²/9 = 1. Здесь a = 4, b = 3, значит c² = 16 + 9 = 25 и c = 5. Фокусы в точках (±5; 0), асимптоты y = ±(3/4)x, эксцентриситет 5/4.

Проверять полезно сравнением: у гиперболы c больше a всегда. Если получилось наоборот, значит применена формула эллипса.

Если минус стоит перед первой дробью, гипербола повёрнута: её ветви открываются вверх и вниз, а фокусы лежат на оси ординат. Формула для c при этом не меняется.

Правила и формулы

• Каноническое уравнениеx²/a² − y²/b² = 1
• Расстояние до фокусаc² = a² + b²
• Эксцентриситетe = c/a > 1
• Асимптотыy = ±(b/a)x
• Отличие от эллипса: минус в уравнении и плюс в формуле c

Порядок действий

1. Приведите уравнение к каноническому виду.
2. Извлеките корни из знаменателей - получите a и b.
3. Найдите c по формуле суммы квадратов.
4. Запишите асимптоты как y = ±(b/a)x.
5. Проверьте: c обязано быть больше a.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Применяют формулу эллипса и вычитают квадраты полуосей.
• В асимптотах меняют местами a и b.
• Получают эксцентриситет меньше единицы и не замечают ошибки.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Парабола

Определения

Парабола

Множество точек, равноудалённых от фиксированной точки-фокуса и фиксированной прямой-директрисы.

Параметр параболы

Число p в каноническом уравнении y² = 2px. Равно расстоянию от фокуса до директрисы.

Объяснение

Парабола определяется равенством расстояний: до фокуса и до директрисы. В отличие от эллипса и гиперболы, фокус у неё один.

Каноническое уравнение имеет вид y² = 2px, где p - параметр. Такая парабола симметрична относительно оси абсцисс и открыта вправо при положительном p.

Фокус лежит в точке (p/2; 0), а директриса задаётся уравнением x = −p/2. Обе величины равны половине параметра, только с разными знаками - фокус внутри параболы, директриса снаружи.

Разберём y² = 8x. Сравнивая с 2px, получаем 2p = 8, значит p = 4. Фокус в точке (2; 0), директриса x = −2.

Обратите внимание на промежуточный шаг: из коэффициента 8 сначала находят p = 4, и только потом делят пополам для координаты фокуса. Пропуск этого шага - самая частая ошибка: за координату фокуса берут 4 вместо 2.

Школьная парабола y = ax² - это та же кривая, только повёрнутая: она симметрична относительно вертикальной оси. Каноническое уравнение для такого расположения имеет вид x² = 2py.

Проверять полезно определением: возьмите любую точку параболы и сравните расстояния до фокуса и до директрисы - они обязаны совпасть.

Отрицательный параметр разворачивает параболу в другую сторону: при p меньше нуля ветви открываются влево. Фокус и директриса меняются местами по знаку.

Правила и формулы

• Каноническое уравнениеy² = 2px
• Фокус(p/2; 0)
• Директрисаx = −p/2
• Параметр находят сравнением коэффициентовy² = 8x → 2p = 8 → p = 4
• Для вертикальной осиx² = 2py

Порядок действий

1. Приведите уравнение к каноническому виду.
2. Сравните коэффициент при линейной переменной с 2p.
3. Найдите параметр p.
4. Разделите его пополам - получите координату фокуса.
5. Запишите директрису с противоположным знаком.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Берут за параметр сам коэффициент, не деля на два.
• Помещают фокус в точку с координатой p вместо p/2.
• Путают знак директрисы с координатой фокуса.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней

Окружность

Определения

Каноническое уравнение окружности

Уравнение вида (x − a)² + (y − b)² = R², где (a; b) - центр, R - радиус.

Выделение полного квадрата

Преобразование, приводящее общее уравнение к каноническому виду.

Объяснение

Окружность в каноническом виде читается сразу: центр стоит в скобках со знаком минус, справа - квадрат радиуса. Уравнение (x − 3)² + (y + 2)² = 25 задаёт окружность с центром (3; −2) и радиусом 5.

Знаки в скобках надо читать внимательно: запись (y + 2)² означает y − (−2), значит вторая координата центра равна −2, а не 2. Это самая частая ошибка чтения канонического уравнения.

Справа стоит квадрат радиуса, а не радиус. Из числа 25 радиус получается извлечением корня и равен 5. Записать в ответе 25 - вторая типичная ошибка.

Если уравнение дано в общем виде, с раскрытыми скобками, его приводят к каноническому выделением полного квадрата. Для этого группируют слагаемые с x и слагаемые с y отдельно.

Выделение полного квадрата: берут половину коэффициента при первой степени, возводят её в квадрат, прибавляют и тут же вычитают. Для x² − 6x берём половину от 6, это 3, её квадрат 9: x² − 6x = (x − 3)² − 9.

Разберём x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Группируем: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12. Выделяем квадраты: (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12, откуда (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Центр (3; −2), радиус 5.

Проверять полезно подстановкой: возьмите точку, отстоящую от центра на радиус, и убедитесь, что она удовлетворяет уравнению.

Правила и формулы

• Каноническое уравнение(x − a)² + (y − b)² = R²
• Центр читается со сменой знака(y + 2)² означает b = −2
• Справа стоит квадрат радиуса
• Выделение полного квадратаx² − 6x = (x − 3)² − 9
• Половину коэффициента возводят в квадрат

Порядок действий

1. Сгруппируйте слагаемые с x и слагаемые с y.
2. Для каждой группы выделите полный квадрат.
3. Перенесите лишние числа вправо.
4. Прочитайте центр из скобок, меняя знаки.
5. Извлеките корень из правой части - получите радиус.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Читают центр без смены знака.
• Дают в ответе квадрат радиуса вместо радиуса.
• При выделении квадрата забывают вычесть добавленное число.

Отдельная страница темы · решать задачи по ней