Эллипс: как решать

Найти элементы эллипса.

Определения

Эллипс

Множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек-фокусов постоянна.

Полуоси

Числа a и b в каноническом уравнении. Большая полуось - вдоль оси, где знаменатель больше.

Эксцентриситет

Отношение c к a, где c - расстояние от центра до фокуса. Показывает, насколько эллипс вытянут.

Объяснение

Эллипс определяется через сумму расстояний до двух фокусов: она одна и та же для всех точек кривой. Именно поэтому эллипс можно нарисовать нитью, закреплённой в двух точках.

Каноническое уравнение имеет вид x²/a² + y²/b² = 1. Числа a и b - полуоси, они читаются прямо из знаменателей как корни из них.

Большая полуось - та, у которой знаменатель больше. Если больше знаменатель под x², эллипс вытянут вдоль горизонтальной оси, если под y² - вдоль вертикальной.

Фокусы лежат на большой оси, и расстояние от центра до фокуса находят по формуле c² = a² − b², где a - большая полуось. Обратите внимание: здесь именно разность, а не сумма, и это отличает эллипс от гиперболы.

Разберём уравнение x²/25 + y²/9 = 1. Полуоси: a = 5, b = 3. Большая горизонтальная. Тогда c² = 25 − 9 = 16, значит c = 4, фокусы в точках (±4; 0).

Эксцентриситет равен c/a и для эллипса всегда меньше единицы. Чем он ближе к нулю, тем эллипс круглее; при нулевом эксцентриситете эллипс превращается в окружность, у которой a = b.

Проверять полезно логикой: c обязано быть меньше a, иначе фокусы вышли бы за пределы кривой. Если получилось иначе, значит перепутаны полуоси.

Если центр эллипса смещён, в уравнении появляются скобки вида (x − x₀)². Полуоси и фокусное расстояние считаются так же, а фокусы сдвигаются вместе с центром.

Правила и формулы

• Каноническое уравнениеx²/a² + y²/b² = 1
• Полуоси - корни из знаменателей
• Расстояние до фокусаc² = a² − b²
• Эксцентриситетe = c/a < 1
• При a = b эллипс становится окружностью

Порядок действий

1. Приведите уравнение к каноническому виду с единицей справа.
2. Извлеките корни из знаменателей - получите полуоси.
3. Определите, какая полуось больше.
4. Найдите c по формуле разности квадратов полуосей.
5. Проверьте: c обязано быть меньше большей полуоси.

Разбор примеров

Где обычно ошибаются

• Берут знаменатели за полуоси, не извлекая корень.
• Складывают квадраты полуосей вместо вычитания.
• Помещают фокусы на малую ось.

Примеры с решением

Подсказки, если не получается

• Числа под x² и y² — это квадраты полуосей.
• Для эллипса c² = a² − b², где a — большая полуось.
• Эксцентриситет — отношение c к большой полуоси.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Кривые второго порядка»

• Гипербола
• Парабола
• Окружность

Полная справка по разделу — на странице Кривые второго порядка.