Гипербола: как решать

Найти элементы гиперболы.

Определения

Гипербола: Множество точек, модуль разности расстояний от которых до двух фокусов постоянен. Состоит из двух ветвей.
Асимптоты: Прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются, не пересекая их.

Объяснение

Гипербола определяется через разность расстояний до фокусов, а не сумму, как эллипс. Отсюда и её форма - две отдельные ветви, уходящие в бесконечность.

Каноническое уравнение: x²/a² − y²/b² = 1. Главное отличие от эллипса - знак минус между дробями. Именно он делает кривую гиперболой.

Расстояние от центра до фокуса находят по формуле c² = a² + b² - здесь сумма, а не разность. Это второе принципиальное отличие от эллипса, и путать формулы нельзя.

Отсюда следует, что у гиперболы c всегда больше a, а значит эксцентриситет больше единицы. У эллипса он был меньше единицы - удобный способ различить кривые по эксцентриситету.

Асимптоты задаются уравнениями y = ±(b/a)x. Ветви гиперболы прижимаются к ним, но никогда не касаются. Асимптоты рисуют первыми - они задают каркас чертежа.

Разберём x²/16 − y²/9 = 1. Здесь a = 4, b = 3, значит c² = 16 + 9 = 25 и c = 5. Фокусы в точках (±5; 0), асимптоты y = ±(3/4)x, эксцентриситет 5/4.

Проверять полезно сравнением: у гиперболы c больше a всегда. Если получилось наоборот, значит применена формула эллипса.

Если минус стоит перед первой дробью, гипербола повёрнута: её ветви открываются вверх и вниз, а фокусы лежат на оси ординат. Формула для c при этом не меняется.

Правила и формулы

Каноническое уравнениеx²/a² − y²/b² = 1
Расстояние до фокусаc² = a² + b²
Эксцентриситетe = c/a > 1
Асимптотыy = ±(b/a)x
Отличие от эллипса: минус в уравнении и плюс в формуле c

Порядок действий

Приведите уравнение к каноническому виду.
Извлеките корни из знаменателей - получите a и b.
Найдите c по формуле суммы квадратов.
Запишите асимптоты как y = ±(b/a)x.
Проверьте: c обязано быть больше a.

Разбор примеров

x²/16 − y²/9 = 1, найти c

a = 4, b = 3.
c² = 16 + 9 = 25.
c = 5.

Ответ: 5

Та же гипербола: асимптоты

Формула: y = ±(b/a)x.
b/a = 3/4.

Ответ: y = ±0,75x

Та же гипербола: эксцентриситет

e = c/a = 5/4.
Он больше единицы, как и должно быть.

Ответ: 1,25

Где обычно ошибаются

Применяют формулу эллипса и вычитают квадраты полуосей.
В асимптотах меняют местами a и b.
Получают эксцентриситет меньше единицы и не замечают ошибки.

Примеры с решением

1. Гипербола задана уравнением x²/784 − y²/2025 = 1. Найдите расстояние от центра до фокуса.

a² = 784, значит a = 28
b² = 2025, значит b = 45
c² = 784 + 2025 = 2809, c = 53

Ответ: 53

2. Гипербола задана уравнением x²/225 − y²/64 = 1. Найдите мнимую полуось.

a² = 225, значит a = 15
b² = 64, значит b = 8
Мнимая полуось равна 8

Ответ: 8

3. Гипербола задана уравнением x²/81 − y²/144 = 1. Найдите расстояние между фокусами.

a² = 81, значит a = 9
b² = 144, значит b = 12
c² = 81 + 144 = 225, c = 15, а 2c = 30

Ответ: 30

4. Гипербола задана уравнением x²/400 − y²/441 = 1. Найдите действительную полуось.

a² = 400, значит a = 20
b² = 441, значит b = 21
Действительная полуось равна 20

Ответ: 20

5. Гипербола задана уравнением x²/576 − y²/49 = 1. Найдите расстояние от центра до фокуса.

a² = 576, значит a = 24
b² = 49, значит b = 7
c² = 576 + 49 = 625, c = 25

Ответ: 25

Подсказки, если не получается

Действительная полуось стоит под x².
Для гиперболы фокусное расстояние считается по формуле c² = a² + b².
a = 28, b = 45.

Решать такие задачи

Другие темы раздела «Кривые второго порядка»

Полная справка по разделу — на странице Кривые второго порядка.